高中数学 1.1.2、3四种命题精品同步导学 新人教A选修21

1.1.2四种命题.1．1.3四种命题间的相互关系..1.了解四种命题的概念．2.认识四种命题的结构，会写某命题的逆命题、否命题和逆否命题．3.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．4.会利用命题的等价性解决问题..1.结合命题真假的判定，考查四种命题的结构．(重点、难点)2.对条件式的结论进行否定．(易错点)3.理解四种命题的关系．(重点)4.等价命题的应用．(难点)..下列语句中是命题的有

，是真命题的是

.(填序号)①四边相等的四边形是平行四边形；②ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程；③2是质数吗？④x2＋x＋1>0.①②④④.1．四种命题内容栏目名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的

和

，那么这样的两个命题叫做

．其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的

.原命题为“若p，则q”；逆命题为“

”结论条件互逆命题逆命题若q，则p.内容栏目名称定义表示形式互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的

和

，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的

.原命题为“若p，则q”；否命题为“

”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的

和

，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的

.原命题为“若p，则q”；逆否命题为“

”条件的否定结论的否定否命题结论的否定条件的否定逆否命题若綈p，则綈q若綈p，则綈q.2.四种命题之间的相互关系.3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.原命题逆命题否命题逆否命题真真

真假

假真

假假

真假假真真真假假.(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有

的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性

．相同关系没有.答案：

C

.2．命题“若a>2，则a>6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：若a>2，则a>6是假命题；逆命题：若a>6，则a>2是真命题；否命题：若a≤2，则a≤6是真命题；逆否命题：若a≤6，则a≤2是假命题．答案：B.3．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．答案：若a≤b，则2a≤2b－1.4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当a≤2时，f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上单调递增．解析：(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．.(2)原命题：若a≤2，则f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上单调递增．逆命题：若f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上单调递增，则a≤2.否命题：若a>2，则f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上不单调递增．逆否命题：若f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上不单调递增，则a>2...

(2011·陕西高考)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b.解析：命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，所以选D.答案：D. 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac；(2)函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，loga2<0..[解题过程](1)名称命题原命题若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac逆命题若实数a，b，c满足b2＝ac，则a，b，c成等比数列否命题若实数a，b，c不成等比数列，则b2≠ac逆否命题若实数a，b，c，且b2≠ac，则a，b，c不成等比数列.(2)名称命题原命题若函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，则loga2<0逆命题若loga2<0，则函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数否命题若函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数，则loga2≥0逆否命题若loga2≥0，则函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.[题后感悟](1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)交换原命题的条件和结论，得到逆命题．同时否定原命题的条件和结论，得到否命题．交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．.1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若m·n＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实根；(2)“若x＝2，则x2＋x－6＝0”；(3)垂直于同一平面的两直线平行．解析：(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n＜0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0..(2)逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．.(3)原命题：若两直线垂直于同一平面，则两直线平行．逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．..[解题过程](1)原命题：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1，假命题．逆命题：若a<1，则方程x2＋2x＋a＝0有实根，真命题．否命题：若方程x2＋2x＋a＝0无实根，则a≥1，真命题．逆否命题：若a≥1，则方程x2＋2x＋a＝0无实根，假命题．.(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0，且b≠0.真命题．逆否命题：若a≠0，且b≠0，则ab≠0.真命题．(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0.真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零．真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0.真命题．.[题后感悟]对于命题在判断它的真假性时，如果直接判断有难度可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性，先判断等价命题的真假，由等价命题的真假确定原来命题的真假．.2.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数图象与x轴有公共点．.解析：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2>bc2，则a>b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．.(2)该命题为真．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补．为真．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．.(3)该命题为假．∵当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．. 证明：已知函数f(x)是R上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0..[规范作答]证法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是R上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”4分若a＋b<0，则a<－b，b<－a，6分又∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a).10分∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题.11分∴原命题为真命题.12分.证法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，2分又∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a).6分∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b).9分这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾.11分因此假设不成立，故a＋b≥0.12分.[题后感悟](1)由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当证明原命题感到困难或对原命题不易判断真假时，可考虑证明或判断它的逆否命题是否成立．(2)利用逆否命题与原命题等价，可以省去否定条件和结论时的过程，简化问题的求解．...为了便于书写各种命题，当原命题不是“若p，则q”的形式时，应先将命题写成规范形式“若p，则q”，然后再进行书写．例如：写出命题“偶函数的图象关于y轴对称”的逆命题、否命题、逆否命题．由于原命题不是以“若p，则q”的形式给出，因此先把命题“偶函数的图象关于y轴对称”改写成“若函数f(x)为偶函数，则f(x)的图象关于y轴对称”，则：.逆命题：若f(x)的图象关于y轴对称，则函数f(x)为偶函数；否命题：若函数f(x)不是偶