专训三角形三种重要线段应用

阶段方法技巧训练（一）专训2三角形的三种重

要线段的应用习题课三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度认识这三种线段．1应用三角形的高的应用如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E，则△ADE的边DE上的高

为________，边AE上的高为________．类型1找三角形的高ABDC2.(动手操作题】画出图中△ABC的三条高．(要

标明字母，不写画法)类型2作三角形的高如图．解：3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边

上的高AD＝4.求：(1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)AD∶BE的值．类型3求与高相关线段的问题(1)S△ABC＝

BC•AD＝×4×4＝8.

因为S△ABC＝

AC•BE

＝×5×BE＝8，所以BE＝.(2)AD∶BE＝4∶＝.解：4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.

求证：DE＋DF＝BG.类型4证与高相关线段和的问题连接AD，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以

AC•BG＝

AB•DE＋

AC•DF.又因为AB＝AC，所以DE＋DF＝BG.证明：“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决．5．【中考•淄博】如图，△ABC的面积为16，点D

是BC边上一点，且BD＝

BC，点G是AB边上

一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是

平行四边形．则图中阴影部分的面积是(

)A．3B．4C．5D．6类型5求与高有关的面积B设△ABC的边BC上的高为h，△AGH的边GH上的高为h1，△CGH的边GH上的高为h2，则有h＝h1＋h2.S△ABC＝

BC•h＝16，S阴影＝S△AGH＋S△CGH＝

GH•h1＋

GH•h2＝

GH•(h1＋h2)＝

GH•h.∵四边形BDHG是平行四边形，且BD＝

BC，∴GH＝BD＝

BC.∴S阴影＝

＝

S△ABC＝4.故选B.2应用三角形的中线的应用如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为(

)

A．2B．3C．4D．6类型1求与中线相关线段的问题A同类变式7.如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的

周长为(

)A．40

B．46

C．50

D．56同类变式8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上

的中线BD将这个三角形的周长分成15cm

和6cm两部分，求这个等腰三角形的三边

长．设AD＝CD＝xcm，则AB＝2xcm，BC＝(21－4x)cm.依题意，有AB＋AD＝15cm或AB＋AD＝6cm，则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，解得x＝5或x＝2.当x＝5时，三边长为10cm，10cm，1cm；当x＝2时，三边长为4cm，4cm，13cm，而4＋4＜13，故不成立．所以这个等腰三角形的三边长为10cm，10cm，1cm.解：9．操作与探索：在图①～③中，△ABC的面积为a.(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝

BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的式子表示)；类型2求与中线相关的面积问题a理由：连接AD，由题意可知S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，所以S△DEC＝2a，即S2＝2a.解：(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA

到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若

△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的式

子表示)，请说明理由；2a(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF

＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部

分的面积为S3，则S3＝________(用含a的式子

表示)．6a3应用三角形的角平分线的应用10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上

的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为

角平分线的三角形有__________________；类型1三角形角平分线定义的直接应用△ABC和△ADF(2)如图，已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角

平分线．因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.又因为∠1＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.所以∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因为∠4＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3.所以AE是△DAF的角平分线．解：如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的

平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的

度数．类型2三角形的角平分线与高相结合求角的度数在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°.又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE＝∠BAC＝×100°＝50°.在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.解：又因为AD是高，所以∠BDA＝90°，所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA

＝180°－20°－90°＝70°.所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE

＝70°－50°＝20°.灵活运用三角形内角和为180°，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法．12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分

线且交于点O.(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；(3)当∠A＝α时，求∠BOC的度数．类型3求三角形两内角平分线的夹角度数(1)因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°.因为BE，CD为△ABC的角平分线，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝

∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＋

∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝60°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.解：(2)因为∠A＝100°，

所以∠ABC＋∠ACB＝80°.因为BE，CD为△ABC的角平分线，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝

∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝40°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.(3)因为∠A＝α，

所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.因为BE，CD为△ABC的角平分线，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝

∠ACB.所以∠E