空间立体几何中的截面图 讲义-数学高考复习微专题

数学高考复习微专题空间立体几何中的截面图立体几何注重形象化和简洁性，可以锻炼直观感知、逻辑思维能力、空间想象能力，养成有条理地进行推理的习惯，是高中数学教学的重要内容之一。在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。学生对截面问题的思考必须经历识图、想图到构图的过程，要通过观察、分析、想象、推理、计算才能加以求解。本微专题对常见几何体的截面图进行简单的介绍和应用分析，希望能够提升学生的融会贯通意识，有效培养学生的数学思维能力与学科核心素养。一、正方体的截面

以上可以看出,由于正方体包含了六个面,因此,不高于六条线的平面图形均可能是其截面,包含了三角形、四边形、五边形和六边形。

注:正方体的截面不可能是直角三角形、钝角三角形和直角梯形。例1、已知正方体的校长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面而积的最大值为 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】解法1：根据题意，平面与正方体对角线垂直，记正方体为不妨设平面与垂直，且交于点．平面与平面与分别交于．正方体中心为,则容易证明当从运动到时，截面为三角形且周长逐渐增大:当从运动到时，截面为六边形且周长不变;当从运动到时，截面为三角形且周长还渐减小。我们熟知周长一定的多边形中，正多边形的面积最大，因此当运动到点时，截面为边长为的正大边形，此时截面面积最大，为解法2：由题意可知，该平面与在正方体的截面为对边平行的六边形，如图所示，则截面面积为所以当时，例2、已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在正方体中，平面平面，而平面，平面，平面平面，则平面与平面的交线过点B，且与直线EF平行，与直线相交，令交点为G，如图，而平面，平面，即分别为与平面所成的角，而，则，且有，当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，，即G为棱中点M，当点F由点C向点D移动过程中，逐渐增大，点G由M向点方向移动，当点G为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形，当点G在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，而点F与D不重合，此时，平面与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段（除点M外）上，即,显然，，则，所以线段的CF的取值范围是.故选：D例3、已知面CB1D1，平面，平面，则所成角的正弦值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示：∵，∴若设平面平面，则又∵平面∥平面，结合平面平面∴，故同理可得：故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．而（均为面对交线），因此，即．故选A．二、棱锥的截面

注:如果是正四棱锥,底面应该是正方形,此时横着切,截面只能是正方形,不经过顶点纵切,是梯形。因此,正四棱锥切不出长方形。例1、一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．故选：B．例2、如图，在三棱锥木块中，VA，VB，VC两两垂直，，点P为的重心，沿过点P的平面将木块锯开，且使截面平行于直线VC和AB，则该截面的面积为______．【答案】【解析】由VA，VB，VC两两垂直，，则可将三棱锥补形到正方体中，连接AP并延长，交VC于D，过P作VC的平行线，交AV于E，交AC与F，过E作，交VB于H，过H作，交BC于M，连接MF，如图所示因为，所以E、F、M、H四点共面，因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，则平面即为所求，因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以四边形为平行四边形，又，平面VAB，所以平面VAB，所以平面VAB，因为平面VAB，所以，即四边形为矩形，因为，所以，因为P为的重心，所以，则，同理可证，所以，则，所以矩形的面积为，故答案为：例3、三棱锥中，E、F、G、H分别是棱DA、DB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分成两个几何体：、，其体积分别为、，则（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】A【解析】如图，连接，设的面积为，到平面的距离为，则，而，又，故几何体的体积为，而三棱锥的体积为，故几何体的体积与棱锥的体积之比为，故两个几何体、的体积之比为1:1.故选：A.三、圆柱的截面

以上可以看出,圆柱的截面主要有圆、矩形和椭圆,上述表格中第四种和第五种情况,得到的是椭圆的一部分。

注:圆柱的截面不可能是梯形、三角形。

例1、如图所示圆柱的轴截面的周长为定值，则（

）A．圆柱的体积有最小值，此时高与底面圆的直径之比为B．圆柱的体积有最小值，此时高与底面圆的半径之比为C．圆柱的体积有最大值，此时高与底面圆的直径之比为D．圆柱的体积有最大值，此时高与底面圆的半径之比为【答案】D【解析】设底面半径为，圆柱的高为，则由题意可知（为定值，），因为，所以，圆柱的体积为，则，令，则，得或，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，此时，即取得最大值，高与底面圆的半径之比为，故选：D例2、如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c根据题意可知，所以椭圆的离心率，选项A正确。故选：A.例3、如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段是圆柱下底面的直径，点是下底面的圆心.线段是圆柱的一条母线，且.已知平面经过，，三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面与圆柱侧面的交线为曲线.则（

）A．曲线是椭圆的一部分 B．曲线是抛物线的一部分C．二面角的大小为 D．马蹄体的体积为满足【答案】ACD【解析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切，又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为，取曲线C上一点，过点的圆柱母线与两球交于两点，由于同是下面球的切线，同是上面球的切线，可得，，则，由椭圆定义知：曲线是椭圆的一部分，A正确；B错误；连接，由，，知面，故，则为二面角的平面角，又，则，C正确；由补成的几何体知马蹄体的体积为小于圆柱体的，即为，又，所以，所以，D正确.故选：ACD.四、圆锥的截面注:倾斜于轴线得到的截面形状为椭圆,但是这个椭圆不在中心位置,而是偏向某一侧的。

例1、已知圆锥的轴截面是顶角为120°的等腰三角形，圆锥的母线长为2，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆锥的高为h，底面半径为r，因为，，所以，，，所以圆锥的体积，故选：A.例2、用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角.已知过圆锥的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥的轴截面，则圆锥的顶角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆锥的母线长为，三角形顶角为，则过圆锥的两条母线的截面三角形面积为，当时取得最大值，此时，所以圆锥的顶角的取值范围是.故选：B.例3、如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______.【答案】【解析】作出圆锥的轴截面如图所示，圆锥面与两球相切于两点，则，，过作，垂足为，连接，，设与交于点，设两球的球心距离为，在中，，，；，，，，解得：，，；由已知条件，知：，即轴截面中，又，，解得：，即两球的球心距离为.故答案为：.五、球的截面注：（1）用一个平面去截一个球，截面是圆面；（2）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆（3）球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆，球心和截面圆心的连线与截面垂直。例1、已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设平面截三棱锥所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则，由正弦定理可得，，，故选：B例2、若球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心，可得，，设球的半径为，在三角形中，由，即，解得，在三角形中，，，由余弦定理得，在三角形中，因为，故，设过且垂直的截面圆的半径为，，故最小的截面面积为.故选：B例3、某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半