“应用随机过程”讲义一解析

应用随机过程清华高校数学科学系林元烈主讲教材：《应用随机过程》（第三次印刷）林元烈，清华高校出版社2023/1/181应用随机过程讲义第一讲学习要求不仅是驾驭学问，更重要的是驾驭思想学会把抽象的概率和实际模型结合起来2023/1/182应用随机过程讲义第一讲学习重点用随机变量表示事务及其分解——基本理论全概率公式——基本技巧数学期望和条件数学期望——基本概念2023/1/183应用随机过程讲义第一讲第一讲

2023/1/184应用随机过程讲义第一讲随机事务与概率

随机试验

2023/1/185应用随机过程讲义第一讲要点：在相同条件下，试验可重复进行；试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言原委会出现哪个结果。2023/1/186应用随机过程讲义第一讲样本点

对于随机试验E，以ω表示它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。

样本空间

样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。Ω＝{ω}2023/1/187应用随机过程讲义第一讲随机事务粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事务，用大写英文字母A、B、C等来表示。

事务的关系与运算

2023/1/188应用随机过程讲义第一讲2023/1/189应用随机过程讲义第一讲2023/1/1810应用随机过程讲义第一讲示性函数是最简洁的随机变量用随机变量来表示事务2023/1/1811应用随机过程讲义第一讲用示性函数的关系及运算来表示相关事务的关系及运算2023/1/1812应用随机过程讲义第一讲公理化定义集类2023/1/1813应用随机过程讲义第一讲2023/1/1814应用随机过程讲义第一讲概率2023/1/1815应用随机过程讲义第一讲2023/1/1816应用随机过程讲义第一讲2023/1/1817应用随机过程讲义第一讲概率是满足非负性；归一性；可列可加性；的集函数。可测集粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不行测集。2023/1/1818应用随机过程讲义第一讲概率的性质1.

2.3.有限可加性

2023/1/1819应用随机过程讲义第一讲4.

5.6.

2023/1/1820应用随机过程讲义第一讲7.8.可列次可加性9.概率连续性2023/1/1821应用随机过程讲义第一讲这部分的具体探讨可以参见《随机数学引论》林元烈，清华高校出版社2023/1/1822应用随机过程讲义第一讲Buffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。测度：满足非负性、可列可加性的集函数。2023/1/1823应用随机过程讲义第一讲2023/1/1824应用随机过程讲义第一讲事实上，设集类以上集类和A生成相同的σ-代数,都是上面提到的一维Borelσ-代数，即2023/1/1825应用随机过程讲义第一讲直观地说，中包含一切开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。2023/1/1826应用随机过程讲义第一讲2023/1/1827应用随机过程讲义第一讲

2023/1/1828应用随机过程讲义第一讲2023/1/1829应用随机过程讲义第一讲2023/1/1830应用随机过程讲义第一讲事务的独立性2023/1/1831应用随机过程讲义第一讲

几个事务的独立性2023/1/1832应用随机过程讲义第一讲2023/1/1833应用随机过程讲义第一讲2023/1/1834应用随机过程讲义第一讲2023/1/1835应用随机过程讲义第一讲比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论？2023/1/1836应用随机过程讲义第一讲机遇偏爱有心人！2023/1/1837应用随机过程讲义第一讲一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事务；但重复次数足够多，如n=400，至少一次成功就是或许率事务！

2023/1/1838应用随机过程讲义第一讲只要功夫深，铁杵磨成针！2023/1/1839应用随机过程讲义第一讲随机变量定义说明2023/1/1840应用随机过程讲义第一讲离散型随机变量的示性函数表示法

这说明对于任一d.v.r.，总可以分解为互不交的事务的示性函数的迭加。2023/1/1841应用随机过程讲义第一讲随机变量等价定义分布函数2023/1/1842应用随机过程讲义第一讲连续型随机变量的概率密度函数微元法求概率密度函数2023/1/1843应用随机过程讲义第一讲二维随机变量的分布函数二维Borel-σ代数由平面上矩形的全体生成的σ－代数2023/1/1844应用随机过程讲义第一讲联合密度函数亦可用微元法求2023/1/1845应用随机过程讲义第一讲常用随机变量的分布（列出,期望方差）两点分布正态分布二项分布指数分布Poisson分布匀整分布几何分布二维正态分布2023/1/1846应用随机过程讲义第一讲两点分布若r.v.X只取1和0两个值，且则称r.v.X听从参数为p的两点分布。简记为：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)2023/1/1847应用随机过程讲义第一讲EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p22023/1/1848应用随机过程讲义第一讲EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/122023/1/1849应用随机过程讲义第一讲EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ22023/1/1850应用随机过程讲义第一讲二维正态分布的优良性质

X,Y相互独立X,Y不相关2023/1/1851应用随机过程讲义第一讲随机变量的数字特征及条件数学期望2023/1/1852应用随机过程讲义第一讲数学期望（复习）“加权平均”为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-S积分的概念。2023/1/1853应用随机过程讲义第一讲黎曼－斯蒂尔吉斯积分2023/1/1854应用随机过程讲义第一讲任分任取求和取极限2023/1/1855应用随机过程讲义第一讲2023/1/1856应用随机过程讲义第一讲在定义了R-S积分之后，我们可以将全部随机变量的数学期望形式进行统一。2023/1/1857应用随机过程讲义第一讲2023/1/1858应用随机过程讲义第一讲数学期望的性质（E|Xi|<∞）2023/1/1859应用随机过程讲义第一讲

交换求和依次2023/1/1860应用随机过程讲义第一讲同理，对连续型随机变量有相像的结论成立2023/1/1861应用随机过程讲义第一讲2023/1/1862应用随机过程讲义第一讲2023/1/1863应用随机过程讲义第一讲2023/1/1864应用随机过程讲义第一讲2023/1/1865应用随机过程讲义第一讲Chebyshev不等式2023/1/1866应用随机过程讲义第一讲

条件数学期望2023/1/1867应用随机过程讲义第一讲2023/1/1868应用随机过程讲义第一讲2023/1/1869应用随机过程讲义第一讲用示性函数的线性组合表示离散型随机变量（见前面“随机变量”部分）2023/1/1870应用随机过程讲义第一讲例：将概率运算纳入求期望运算的范畴2023/1/1871应用随机过程讲义第一讲理解E(X|Y)是ω的函数，也是Y(ω)的函数，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相应的值；当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是离散型随机变量。2023/1/1872应用随机过程讲义第一讲2023/1/1873应用随机过程讲义第一讲推广至一般随机变量2023/1/1874应用随机过程讲义第一讲将x替换成X2023/1/1875应用随机过程讲义第一讲求条件数学期望的一般步骤先写出固定条件(如Y=yj)的状况下X的条件分布律或条件密度函数；依据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件下的数学期望；将条件(Y=yj)替换成一般状况下的随机变量(Y)2023/1/1876应用随机过程讲义第一讲条件数学期望的性质设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，则(重要!)全期望公式2023/1/1877应用随机过程讲义第一讲2023/1/1878应用随机过程讲义第一讲将全概率公式纳入全期望公式的范畴2023/1/1879应用随机过程讲义第一讲重要结论：E(X|Y)=E(E(X|Y,Z)|Y)=E[E(X|Y)|Y,Z]以示性函数为例，验证上面的结论2023/1/1880应用随机过程讲义第一讲同理可验证另一个等号2023/1/1881应用随机过程讲义第一讲例：2023/1/1882应用随机过程讲义第一讲由X2和Y3独立用示性函数表示X22023/1/1883应用随机过程讲义第一讲2023/1/1884应用随机过程讲义第一讲推广