常数项级数的审敛法

会计学1常数项级数的审敛法定理2(比较审敛法)设和为正项级数，且，那么(1)若收敛，则收敛；(2)若发散，则发散。，第1页/共48页证(1)记的部分和为的部分和为，即收敛有上界有上界收敛(定理1)(定理1)第2页/共48页(2)收敛发散(反证)假设则由(1)的结果得：收敛这与已知发散矛盾！证毕。第3页/共48页推论1设和为正项级数。，(1)则收敛。，又若收敛，，(2)则发散。，又若发散，第4页/共48页例1讨论的收敛性。解(1)时.发散发散(比较)第5页/共48页(2)时.对任意自然数当时，即即即第6页/共48页即，考察级数收敛第7页/共48页收敛，又收敛(推论1)由(1)(2)得：收敛，发散，第8页/共48页发散。例2证明证又发散发散(比较)第9页/共48页的收敛性。例3判断级数证又收敛收敛(比较)（等比级数，）第10页/共48页定理3设和为正项级数。时，(1)当(比较审敛法的极限形式)记，那么与的收敛性相同.时，(2)当收敛.若收敛，则时，(3)当发散.若发散，则第11页/共48页证(1)当时.按定义得：对于，使得当时，就有即即第12页/共48页即,收敛.若收敛，则发散.若发散，则上式也可写为,收敛.若收敛，则发散.若发散，则(推论1)(推论1)(推论1)第13页/共48页(2)(3)(自己证)例4判定下列级数的收敛性推论2给了正项级数和.若，则与的收敛性相同.第14页/共48页定理4(比值审敛法)给了正项级数若，则(1)收敛；(2)发散；(3)不能判定。第15页/共48页证显然，(1)存在使得记则对上述存在，使得就有即即第16页/共48页即收敛收敛(比较)收敛(性质)第17页/共48页(2)存在使得记则对上述存在，使得就有即第18页/共48页即发散(级数收敛的必要条件)即这表明：又第19页/共48页对存在，使得就有即发散(级数收敛的必要条件)这表明：又第20页/共48页(3)例该级数发散例该级数收敛第21页/共48页定理5(根值审敛法)给了正项级数若，则(1)收敛；(2)发散；(3)不能判定。第22页/共48页证明：类似定理4的证明（略）说明定理4和定理5中的条件只是使结论成立的充分条件，而非必要条件。反例：正项级数收敛但不存在.第23页/共48页例5判定下列级数的收敛性第24页/共48页例6证明级数收敛，并估计以部分和近似代替和所产生的误差。解收敛设它的和为，(根值审敛法)第25页/共48页即第26页/共48页补充内容：（不证）柯西积分审敛法如果在区间非负、连续、单调递减，则正项级数与反常积分的收敛性相同。上第27页/共48页例7判定的收敛性。解设，则在上，非负、连续、单调递减。发散发散(柯西积分审敛法)练习：判定的收敛性。第28页/共48页二、交错级数交错级数：各项为正负交错出现的级数。即：形如或第29页/共48页定理6（莱布尼茨定理）若交错级数满足条件：则(1)该交错级数收敛，且其和(2)第30页/共48页证设交错级数的部分和为先考察.由条件(1)得：即(*)的子列第31页/共48页存在，设极限值为，则有再考察.的子列即收敛，其和为[由条件（2）]第32页/共48页在(*)式中，令取极限，得即即即第33页/共48页证毕。第34页/共48页例8讨论交错级数的收敛性，并估计的值。解又交错级数收敛，(莱布尼茨定理)且第35页/共48页三、任意项级数任意项级数：正、负项的出现是任意的级数。是任意项级数，怎样判定它的收敛性？是正项级数，我们会判定它的收敛性。那么，现在的问题是：的收敛性与的收敛性之间有什么关系？第36页/共48页定理7若收敛，则收敛。证又，，收敛收敛,收敛(比较)第37页/共48页收敛(性质)证毕。注意反之不然。反例：收敛，但发散。第38页/共48页定义给了任意项级数(1)如果收敛，则称是绝对收敛的。(2)如果发散，则称是条件收敛的。但收敛第39页/共48页例如：绝对收敛条件收敛说明：由定理7得：绝对收敛收敛第40页/共48页例9判定的收敛性。解这是任意项级数。先考虑的收敛性，又收敛它是正项级数。收敛(比较)绝对收敛即收敛第41页/共48页注意收敛收敛发散发散一般地，但是，如果是用比值审敛法或根值审敛法得出发散,则可断定发散。第42页/共48页例10判定级数的收敛性。解这是任意项级数。先考虑的收敛性。第43页/共48页发散发散(根值审敛法)第44页/共48页练习判定下列级数的收敛