LTI系统数学模型表示

会计学1LTI系统数学模型表示时域分析法直观明了，物理概念清楚。时域分析法是学习系统变换域方法的基础。本章讨论连续时间LTI系统的两种时域分析方法，即微分方程法和卷积积分法。第2章系统的时域分析---导读第1页/共28页本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分方程。然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初始条件求待定系数。为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入响应和零状态响应。仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得到；零状态响应的求解则用卷积方法。冲激响应和阶跃响应是两种很重要的零状态响应，在求解系统响应和进行系统特性分析都起到了很重要的作用。第2章系统的时域分析---导读第2页/共28页本章主要内容2.1连续LTI系统的数学模型2.2

经典的微分方程的求解方法2.3零状态响应和零输入响应2.4

系统的冲激响应和阶跃响应2.5离散LTI系统的模型与求解第3页/共28页第7讲连续LTI系统的数学模型第4页/共28页LTI系统数学模型的建立依据本课程主要研究由电阻、电容、电感等器件构成的电系统。数学模型的建立的基本依据：基尔霍夫电流定律（KCL）基尔霍夫电压定律（KVL）元器件的电压－电流关系（VCR）第5页/共28页建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束——拓扑约束：电路基尔霍夫定律LTI系统数学模型的建立依据KCL:对任一节点，流入与流出该节点的电流之和为零，即

KVL:对任一回路，设沿顺（反）时针所有支路电压都为电压升（或都为电压降），则有

第6页/共28页VCR：对电阻R、电感L、电容C，设其两端电压与通过的电流取关联参考方向

2)电容元件3)电感元件1)电阻元件LTI系统数学模型的建立依据第7页/共28页系统微分方程的建立对于C、R、L所在的回路，根据KVL有

以为输入，列出系统的微分方程为输出对方程两边求导

将代入上式第8页/共28页系统微分方程的建立根据KVL列出两个回路方程已知为电压源激励信号列出系统的微分方程

为输出消去得到第9页/共28页如图所示系统，us(t)为激励信号，电阻R1上的电压u(t)为响应，L1=L2=1H，R1=R2=1Ω，C=2F，试写出系统的微分方程系统微分方程的建立第10页/共28页【解】设网孔Ⅰ、Ⅱ及各电流参考方向如图所示。应用KCL列节点a的电流方程为iC=i1-i2

对网孔I、II应用KVL分别列方程系统微分方程的建立第11页/共28页【解】代入元件参数值，有

由以上两式,得系统微分方程的建立再利用元件的电压、电流关系，并代入元件参数值第12页/共28页所以

系统微分方程的建立第13页/共28页LTI系统的数学模型的一般描述

一般的，对于含有n个储能元件的LTI系统，其数学模型可用n阶的、常系数的、线性的微分方程来描述，即：或：

式中：ai和bj均为常数，一般mn

第14页/共28页思考与练习以为输入，列出系统的微分方程

为输出答案是：第15页/共28页算子法建立微分方程定义微分算子：注意：这里的p只是代表微分运算的一个算子（1/p代表积分运算），p并不是变量。第16页/共28页微分算子使用举例微分算子方程：

p2

y(t)+3py(t)+2y(t)=2pf(t)+5f(t)或：(p2+3p+2)y(t)=(2p+5)f(t)例：第17页/共28页例：1)

py(t)=pf(t)，不等于y(t)=f(t)2)(p+1)(p+2)y(t)=(p+2)(p+3)f(t)不等于

(p+1)y(t)=(p+3)f(t)如：(p+a)(p+b)=p2+(a+b)p+ab(1)代数运算规则：可以像代数量那样进行乘法运算、因式分解。但是，一般情况下不能约掉微分算子特性第18页/共28页(2)公因子规则：含p的有理分式的分子、分母公共因子或算子方程两边的公共因子一般不允许消去。如：但是：

上式中，除非x(-)=0

，否则分母、分子中的p不能消去。微分算子特性【即】微分、积分次序不能颠倒，两种运算不一定能抵消。第19页/共28页对于n阶单输入单输出系统用微分算子表示为：微分方程的算子表示第20页/共28页称D(p)为系统的特征多项式；称D(p)=0为系统的特征方程。写成：微分方程的算子表示H(p)为系统的传输算子。第21页/共28页电路系统微分算子方程的建立电容元件电感元件R、L、C元件的算子模型：电阻元件第22页/共28页有了算子，电路微分方程的建立就像代数方程的建立一样方便简单。由电阻、电感、电容的伏安关系，可以得到其算子表示：电路系统微分算子方程的建立第23页/共28页电路系统微分算子方程的建立计算得：第24页/共28页根据电路微分算子运算模型，列写回路方程，得电路系统微分算子方程的建立如图所示电路，写出输出电流i(t)和激励x(t)之间的微分方程第25页/共