EMF边值问题初步分界面上的边界条件

会计学1EMF边值问题初步分界面上的边界条件静电场中的电介质什么是电偶极子？电偶极矩的大小？方向？如何解释电介质对静电场的影响？极化电荷面密度极化电荷体密度第1页/共28页各向同性？线性？均匀电介质？电场强度和电位移矢量之间的本构关系是？高斯通量定理的积分形式？微分形式？高斯通量定理适用于任何电荷发布的情况？为何引入电位Ф？(√)第2页/共28页【微分形式】A)静电场的基本方程10.1边值问题初步【积分形式】【本构关系】（线性，各向同性媒质）静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。第3页/共28页B)Possion方程和Laplace方程【Laplace方程】在直角坐标系中：【Possion方程】在广义正交曲线坐标系中：第4页/共28页计算方法第5页/共28页C)一维泊松方程的解在静电场中，一般求解以下各类问题：1）给定电场分布，要求电荷分布。在许多实际问题中，只有那些电荷分布具有某种对称性，并且没有边界或有边界，边界也具有相似的对称性的简单问题才可用直接积分或高斯通量定理求解。在工程应用中，许多电场总是要用间接方法求解。常遇场区域有限，在区域内可能有电荷分布，也可能没有电荷分布，而在区域的边界上场量要受到某种边界条件限制的问题。像这一类在给定边界条件下求解场域内的场（一定边界条件下微分方程的解）的问题，称为边值问题。2）给定在有限区域内的电荷分布，场域为无限大内，且电介质是均匀、线性和各向同性的，要求电场强度。第6页/共28页边值问题第7页/共28页边值问题求解方法第8页/共28页

泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。【例3】列出求解区域的微分方程图1.4.1三个不同媒质区域的静电场第9页/共28页【例2-9】

已知导体球的电位为（无穷远处的电位为0)U，球的半径为a，求球外的电位函数。解球外的电位满足拉普拉斯方程，且电场具有球面对称性，

第10页/共28页【例2-10】两无限大平行板电极，板间距离为d，电压为U0

，并充满密度为0x/d

的体电荷。求板间电场强度和极板面上的电荷面密度。解

据题意，已知条件可表述为

比较例2-7第11页/共28页10.2静电场的边界条件(B.C.，BoundaryCondition)当静电场中有媒质存在时，媒质与电场相互作用（如极化等），使在介质（dielectric）中的不均匀处出现束缚电荷，在导体（conductor）表面出现感应电荷。这些束缚电荷及感应电荷又产生电场，从而改变了原来电场的分布。在两种不同媒质的分界面上，束缚电荷和感应电荷使分界面两侧的电场出现不连续。由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边界条件。介质1介质2r1r2r3r4

0

2

1金属边界第12页/共28页微分方程反映了空间点上静电场的特性。但是，它们只适合于场函数连续可导的情形。对于有媒质突变的问题，场函数不再是连续可导，因此场方程的微分形式不再适用。有时研究的问题是有界的，在边界上，场方程的微分形式也不再适用研究边界问题的方法是从场方程的积分形式出发，因为积分形式的方程不受边界约束。第13页/共28页

以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（）。1)、电位移矢量D的边界条件分界面两侧的

D的法向分量不连续。当时，D

的法向分量连续。则有

根据

是分界面上的自由电荷，an为分界面的法线方向单位矢量由介质2指向介质1。对于分界面两侧，得hSD1D2

2

1anP第14页/共28页对于各向同性的线性介质，得

此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的法向分量不连续的。还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为可见，在介质分界面上法向电位移和电场强度之所以不连续是因为在分界面上分布有表面电荷。第15页/共28页2）、电场强度E的边界条件

以点P作为观察点，作一小矩形回路（）。分界面两侧

E的切向分量连续。在电介质分界面上应用环路定律根据则有对于各向同性的线性介质，得利用矢量恒等式求解Seep68第16页/共28页

表明：（1）理想导体(电壁，PEW,PerfectElectricWall)是等位体，导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；

当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的边界条件为：

介质1E1,D1导体2en导体处于静电平衡状态时

（2）当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上;（3）导体表面上任一点的D就等于该点的自由电荷密度。第17页/共28页

理想介质分界面上的边界条件：n矢量代数简洁了复杂语言的描述？第18页/共28页因此表明:在介质分界面上，电位是连续的。3）、用电位函数表示分界面上的边界条件

设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，,则表明:一般情况下,电位的导数是不连续的。图1.3.4电位的衔接条件对于导体与理想介质分界面，用电位表示的边界条件应是如何呢？第19页/共28页在交界面上不存在时，E、D满足折射定律。折射定律图1.3.3分界面上E线的折射4）、理想介质分界面上电场的方向关系第20页/共28页解：忽略边缘效应图（a）图（b）

【例4】

如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知和,图(a)已知极板间电压U0,图(b)已知极板上总电荷,试分别求其中的电场强度。（a）（b）图1.3.5平行板电容器

第21页/共28页【例2-12】

在聚苯乙烯()与空气的分界面两边，聚苯乙烯中的电场强度为2500V/m，电场方向与分界面法线的夹角是20°，如图所示。试求：（1）空气中电场强度与分界面法线的夹角；（2）空气中的电场强度和电位移。（2）由，即，可得

解：第22页/共28页【例5】已知半径为r1

的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径为r2

的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1，球壳的外半径为r3

，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4

，介电常数为2

，外部区域为真空，如左下图示。试求：①各区域中的电场强度；②各个表面上的自由电荷和束缚电荷。r1r2r3r4

0

2

1解由于结构为球对称，场也是球对称的，应用高斯定理求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。第23页/共28页

在r<r1及r2<r<r3

区域中，因导体中不可能存静电场，所以E=0。

在r1<r<r2

区域中，由，得r1r2r3r4

0

2

1同理，在r3<r<r4区域中，求得在r>r4区域中，求得第24页/共28页

根据及，可以求得各个表面上的自由电荷及束缚电荷面密度分别为r1r2r3r