D高阶偏导数方向导数与梯

会计学1D高阶偏导数方向导数与梯一、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D

内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数

.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:2/30第1页/共31页类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶偏导数为3/30第2页/共31页例1.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及4/30第3页/共31页例如,二者不等5/30第4页/共31页例2.

证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程6/30（偏微分方程）第5页/共31页则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n

元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.(与求导次序无关.)因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明在P29-30)7/30第6页/共31页二、方向导数定义:若函数则称为函数在点

P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为)存在下列极限:记作8/30第7页/共31页定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P

可微,得故9/30第8页/共31页对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角10/30第9页/共31页例3.求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:

向量

l

的方向余弦为11/30第10页/共31页例4.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为12/30第11页/共31页例5.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数13/30第12页/共31页三、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f的值增长最快的那个方向;模:

f的最大方向导数的值.方向导数取最大值：14/30第13页/共31页1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义15/30第14页/共31页称为函数f

的等值线(P5).则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为16/30（等值线实质就是曲面z=f(x,y）与平面z=C

的交线在xoy坐标平面上的投影.）第15页/共31页3.梯度的基本运算公式17/30函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线)在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线平行),指向函数增大的方向.第16页/共31页例6.证:试证处矢径r的模,18/30第17页/共31页例7.已知位于坐标原点的点电荷q

在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.19/30第18页/共31页内容小结

混合偏导数连续与求导顺序无关

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)1.高阶偏导数20/30第19页/共31页2.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为21/30第20页/共31页3.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为22/30第21页/共31页5.方向导数的几何意义(P26)4.几个概念之间的关系方向导数存在偏导数存在•

可微梯度在方向l

上的投影.23/30第22页/共31页思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向

的夹角

.24/30第23页/共31页曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量25/30第24页/共31页26/30第25页/共31页备用题

1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z

具有轮换对称性(92考研)27/30第26页/共31页指向B(3,－2,2)方向的方向导数是

.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则(96考研)28/30第27页/共31页证:令则则定理.令29/30补充内容第28页/共31页同样在点连续,得30/30第29页/共31页数学实验安排第12周（5月13号）主B-304上数学实验理论课第13周上机实验，地点:理科楼－2261.核工程01,建环01,土木01

时间:（5月18号）星期三3-4节10:00-12:00;2.核工程02,03,地环01

时间:(5月20号)星期五3-4节10:00-12:00;第14周（5月27号）主B-304上数学实验理论课第15周上机实验，地点:理科楼－2261.核