D第一型面积分

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会计学1D第一型面积分定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,

叫做积分曲面.第1页/共23页则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面

上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面第2页/共23页二、对面积的曲面积分的计算法

1曲面面积令第3页/共23页曲面的面积为例：求半径为a的球面面积.第4页/共23页若光滑曲面为则若光滑曲面为则若光滑曲面为则第5页/共23页例：求圆柱面在第一卦限中被平面所截下部分的面积。第6页/共23页定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有则曲面积分推论:

设有光滑曲面2第一型曲面积分的计算第7页/共23页例:可有类似的公式.如果曲面方程为说明:第8页/共23页课本例6.8:第9页/共23页例1.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:第10页/共23页思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下两部分,则第11页/共23页例2.

计算其中

是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:

设上的部分,则与

原式=分别表示

在平面第12页/共23页例3.

设计算解:

锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xOy面上的投影域为则第13页/共23页思考:

若例3中被积函数改为计算结果如何?第14页/共23页例4.

求半径为R

的均匀半球壳

的重心.解:

设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球面坐标第15页/共23页例5.计算解:取球面坐标系,则第16页/共23页例6.计算其中

是球面利用对称性可知解:

显然球心为半径为利用重心公式第17页/共23页例7.计算其中

是介于平面之间的圆柱面分析:

若将曲面分为前后(或左右)则解:

取曲面面积元素两片,则计算较繁.第18页/共23页内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)

注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧.第19页/共23页备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z=1以上部分的的面密度质量M.解:

在xOy

面上的投影为

故第20页/共23页2.

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