D最大值与最小值极值的应用问题

会计学1D最大值与最小值极值的应用问题注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或

不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如

为极大点,

是极大值

是极小值

为极小点,

第1页/共44页特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.

(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)第2页/共44页例1求函数上[-2,2]的最值.在[-2,2]上最大值f(-2)=f(2)=11,驻点为x1=-1,x2=0,x3=1令解:由对应函数值为f(-1)=2,f(0)=3,f(1)=2端点的函数值为f(-2)=f(2)=11,最小值f(-1)=f(1)=2.第3页/共44页(1)建立目标函数;(2)求最值;实际问题求最值应注意:第4页/共44页例2将长度等于l的铁丝分成两端,一段围成正方形,另一端围成圆形.问:两端铁丝各为多长时,正方形面积与圆形面积之和最小?当x=(πl)/(4+π)时,两者面积之和为令解:由取x

长围成圆,其半径为,面积,解得>0,惟一的极小即最小.余下长度为l–x

,围成正方形,其面积为极小,其面积为最小第5页/共44页例3设某商品价格P(q)

=9/2-3q/2万元/单位,q为需求量.生产总成本为C(q)=1

+q3/2万元, 问生产多少商品可以获得最大利润?解: 利润＝总收益－总成本,令极大点q=1,生产1个产品可获最大利润1万元.

总收益＝产量（生产量）＊价格设产量为q时的利润为L(q)第6页/共44页例4.

做一容积为V的圆形罐头筒, 怎样设计才能使所用材料最省?解:

欲材料最省,则罐头的总表面积最小.筒底圆半径为r,高为h,侧面积:底面积:体积:令得总表面积:为极小值也是最小值.S在点

这时相应的高为第7页/共44页例2.求边长为a的铁皮剪去四角折成

一无盖方盒.如何作才使体积最大解:

设小正方形边长为x,则盒底边长为a-2x.因四角小正方形只能在(0,a/2)

内取值.故小正方形边长为a/6处体积最大.令,得第8页/共44页例6甲城乙城相距为a,轿车从甲开往乙.若车每小时燃油费用与车速的立方成正比,固定费用96元/小时.知车速100公里/小时,油费为60元/小时,问车速为何值可使整个行程总费用最小?解:设车速x(km/h),燃油+固定费用=Kx3+96(元/h)车每小时总费用

=6×10-5

x3+96元车全程用了a/x

小时全程总费用L(x)=(6×10-5

x3+96)×a/x

元求导L’(x)=a(12×10-5

x–96/x2)=0车速每小时93公里全程总费用最省.第9页/共44页作业4.5阅读P106－109

P1091单,2,3

思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但第10页/共44页点击图片任意处播放\暂停敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？例2第11页/共44页(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点解:第12页/共44页某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月

元，租出去的房子有

套，每月总收入为例3第13页/共44页（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为例3续第14页/共44页点击图片任意处播放\暂停例4第15页/共44页如图,例4解第16页/共44页解得例4解续第17页/共44页库存费用:P24例2.某厂每年供应市场某型号车床a台,分若干批生产,解:总费用:每年生产准备费为:库存量为每年生产批数为:设批量为x,库存费与生产准备费为P(x).每批次的生产准备费为b元.产品均匀投放市场,且上一批费与生产准备机动目录上页下页返回结束用完后立即生产下一批,即平均库存为批量的一半.设每年每台库存费为为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,生产准备费高.问如何生产使一年中库存费的和最小.第18页/共44页P170例4解:又因一年中库存费与生产准备费之和最小的最优批量应为:故舍去.每批生产多少台时,P(x)最小?量x的函数关系为一年中库存费与生产准备费的和P(x)与每批产c为每台产品的库存费,在不考虑生产能力的条件下a为年产量,b为每批次的生产准备费,第19页/共44页(k

为某一常数)例5.

铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20AC⊥

AB,要在AB

线上选定一点D

向工厂修一条

已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:

设则令得

又所以为唯一的极小点,故

AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,

第20页/共44页例6.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.第21页/共44页因此也可通过例6.求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.第22页/共44页内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广

(Th.3)第23页/共44页最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.

设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.P60第24页/共44页2.

设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.第25页/共44页3.

设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A第26页/共44页作业四P168-171阅读P195

9(4),(8),(10),(12);P19620,23;26;29.

第27页/共44页作业问题第28页/共44页35求下列曲线的渐近线：解:第29页/共44页36作下列函数的图形：解:第30页/共44页36作下列函数的图形：解:第31页/共44页例4设某商品每斤成本为C元,需求函数为

q=a/(x-C)+b(100-x),其中a,b为正常数.

问x

等于何值时可以获得最大利润?解:售出一斤可获利x–C元,总利润为令L’(x)=0得惟一驻点x0=50+C/2故L(50+C/2)=a+b(50-C/2)2为最大值.第32页/共44页44设某商品需求量Q对价格P的函数关系为

Q=f(P)=1600(1/4)P求需求Q对于价格P的弹性函数解:46设某商品的供给函数Q=2+3P,求供给弹性函数及P=3时的供给弹性.解:第33页/共44页47某商品的需求函数为Q=Q(P)=75-P2(1)求P=4时的边际需求，并说明其经济意义；

(2)求P=4时的需求弹性，并说明其经济意义；

(3)当P=4时，若价格P上涨1％,总收益将变化百分之几？是增加还是减少？(4)当P=6时，若价格P上涨1％,总收益将变化百分之几？是增加还是减少？(5)P为多少时，总收益最大？解:第34页/共44页47解：第35页/共44页47解：第36页/共44页47解：第37页/共44页B9函数在x=x0处取得极大值则必有[]解:第38页/共44页B10

是函数f(x)在x=x0处有极小值的一个[]解:第39页/共44页B11函数在定义域内[]解:第40页/共44页B11函数