D对弧长曲线积分代余

会计学1D对弧长曲线积分代余一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”

可得为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用第1页/共27页设

是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对

的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，

称为积分弧段.曲线形构件的质量和对第2页/共27页如果L是xOy

面上的曲线弧,如果L

是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx

可能为负.第3页/共27页3.性质（,为常数)(

由组成)(l为曲线弧

的长度)第4页/共27页二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义第5页/共27页点设各分点对应参数为对应参数为则第6页/共27页说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此第7页/共27页如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:

设空间曲线弧的参数方程为则第8页/共27页例1.

计算其中L是抛物线与点

B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)第9页/共27页例2.计算曲线积分

其中为螺旋的一段弧.解:

线第10页/共27页例3.

计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知第11页/共27页思考:例5中改为计算解:

令,则圆的形心在原点,故,如何利用形心公式第12页/共27页例4.计算其中为球面解:化为参数方程则第13页/共27页内容小结1.定义2.性质(l

曲线弧

的长度)第14页/共27页3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧第15页/共27页练习题1.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求2.

已知椭圆周长为a,求第16页/共27页练习题1.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:

分段积分第17页/共27页2.

已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:第18页/共27页第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分

第十一章第19页/共27页一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第20页/共27页1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在第21页/共27页3)“近似和”4)“取极限”(其中为n

个小弧段的最大长度)第22页/共27页2.定义.设

L

为xOy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作第23页/共27页若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,第24页/共27页3.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是