上海市静安区2023届九年级初三数学一模试卷及答案

九年级数学学科练习（满分150分，用卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2题一律无效；3或计算的主要步骤．6题，每题4分，满分24分）相应位置上】1．下列实数中，无理数是（A）；（）；（）；（D）．2．计算x3•2所得的结果是（A）x9；（）x6；（）x5；（D）x．3．如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（A）；（）；（）；（D）．4．如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（A）；（）；（）；（D）．5．如果，那么与的差九年级数学试卷第1页共6页（A）大于0；（）小于0；（）等于九年级数学试卷第1页共6页

6．如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是第6题图（A）；第6题图（）；（）；（D）．题，每题4分，满分48分）7．的倒数是▲．8．计算：▲．9．已知，那么的值是▲．10．抛物线与轴的交点坐标是▲．11．第12题图的表达式可以是▲第12题图12．有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为▲．13．一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、，且迎水坡的坡度为1∶2.5，背水坡的坡度为1∶，则迎水坡的坡角▲背水坡的坡14．已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，九年级数学试卷第2页共6页那么△A1B1C1与△A2B2C九年级数学试卷第2页共6页15．在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF>FC），且PE=2，那么PF=▲．16．在△ABC中，AB=6AC=5，点D、E分别在边AB、上，当=4，∠ADE=C第15题图第17题图时，第15题图第17题图17．ABC绕点C逆时针旋转°后得△DECDE∠BDC=60°，BE=3D两点间的距离是▲．18．与（a≠0，m、n是常数）称作．如果二次函数与（b、c是常数）（b，c）的坐标▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：．20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）第20题图如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2第20题图AE=EC．（1）求证：DE//BC；（2）设，，试用向量、表九年级数学试卷第3页共6九年级数学试卷第3页共6页21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）第21题图如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，，AB=13，BC=21第21题图（1）求AC的长；（2）求∠BAC的正弦值22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）有一把长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α1.一般满足能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面米时，求全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑米到墙面上的DB也随之向后平移到地面上的点E处（如图2．第第22题图1第22题图2九年级数学试卷九年级数学试卷第4页共6页23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥，DF分别交对角线AC、底边、，且.（1）求证：ABFD；（2G在底边上，=，3AGC与△EFC的面积第23题图相等，求FC第23题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分）xOyx轴交于点A（点AB的左侧yBC的余切值为AB＝P在抛物线上，且PO=PB.（1）求上述抛物线的表达式；（2OP新抛物线的对称轴与x轴交于点E.第24题图①求新抛物第24题图②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF=∠PCO，求点F的坐标.九年级数学试卷九年级数学试卷第5页共6页25．（本题满分14分，第（1）①、②小题各5分，第（2）小题4分）在等腰直角△ABCC=90°AC=4DD不与点B、C重合为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADFADF=90°与射线交于点，联结BF.（1）如图1所示，当点D上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD=，tanBFD=，求yx的函数解析式，并写出x的取值范围；（2AB=BE时，求的长.九年级数学试卷九年级数学试卷第6页共6页

答案考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2题一律无效；3或计算的主要步骤．6题，每题4分，满分24分）相应位置上】1．下列实数中，无理数是（B）（A）；（）；（）；（D）．【解析】（A），是有理数，不合题意；（）无法化简，是无理数，符合题意；（），是有理数，不合题意；（D）为分数，是有理数，不合题意．2．计算x3•2所得的结果是（C）（A）x9；（）x6；（）x5；（D）x．【解析】x3•2x（3+2）=x5，C符合.3．如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（C）（A）；（）；（）；（D）．【解析】∵非零向量、互为相反向量，∴、长度相同、方向相反，∴（A）（B）（D）正确，∴选择（C）.4．如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（A）（A）；（）；（）；（D）．【解析】（A）∵，∴△ABC∽△DEF（A.A.）；（），不符合S.A.S.，故不可证明△ABC与△DEF相似；（），只能推得△ABC与△DEF为等腰三角形,不可证明△ABC与△DEF相似；（D），不符合S.A.S.，故不可证明△ABC与△DEF相似．5．如果，那么与的差（D）（A）大于0；（）小于0；（）等于0；（D）不能确定．【解析】采用赋值法：（1）当∠A=30°时，，，则．（2）当∠A=45°时，，，则．由此可得：不能确定与的差与0之间的大小关系，∴D符合.【规律】当，<；当，.6．如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（C）（A）；（）；（）；（D）．第6题图MH【解析】∵中线AD与中线BE相交于点G，∴G第6题图MH（A）∵G为重心，∴，故（A）不成立；（），，故（B）不成立；（）∵，∴，故（C）成立；（D）在△ABD与△BCE中，，，∴S△ABD=S△BCE，，由（C）可知，．∴可得，故（D）不成立．题，每题4分，满分48分）7．的倒数是▲．【解析】的倒数是3.8．计算：▲．【解析】.9．已知，那么的值是▲．【解析】∵，∴设，代入，.10．抛物线与轴的交点坐标是▲．【解析】，∴抛物线与轴的交点坐标是（0，-1）11．的表达式可以是▲．【解析】∵，∴可知，∵，∴的表达式可以是：，等（答案不唯一）.第12题图12．第12题图位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为▲．【解析】由题：桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，∴，∴可得.13．一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、，且迎水坡的坡度为1∶2.5，背水坡的坡度为1∶，则迎水坡的坡角▲背水坡的坡【解析】设迎水坡的坡角为，背水坡的坡角为，由题可得，，，∵随的增大而增大，而，∴，即迎水坡的坡角大于背水坡的坡14．已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为▲．【解析】由△ABC与△A1B1C1的相似比为，可设△ABC为k，△A1B1C1为5k，同理，由△ABC与△A2B2C2的相似比为，可设△A2B2C2为1.5k，∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为5k：1.5k=.15．在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF>FC），且PE=2，那么PF=▲．第15题图【解析】∵正方形AEFD，∴DF=第15题图∵点F恰好是边CD的黄金分割点，∴，∵，∴，∵PE=2，∴.16．在△ABC中，AB=6AC=5，点D、E分别在边AB、上，当=4，∠ADE=C第16题图时，▲第16题图【解析】由题，可画出图形（如右图），∵∠ADE=C，∠A=A，∴△ADE∽△ACB，∴.17．ABC绕点C逆时针旋转°后得△DECDE∠BDC=60°，BE=3D两点间的距离是▲．第17题图H45°45°第17题图H45°45°45°45°15°∵ABC绕点C逆时针旋转°后得△DECRtACD，RtBCE，∵BE=3，∴BH=EH=CH=，在RtCDH中，∠BDC=60°，∴得CD=，∴AD=.18．与（a≠0，m、n是常数）称作．如果二次函数与（b、c是常数）（b，c）的坐标▲．【解析】，，由此可知，在互为“旋转函数”中：（1）二次项系数互为相反数；（2）一次项系数相同；（3）常数项互为相反数.则在二次函数与中，，解得，∴.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：．【解析】原式====.20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，第20题图AE=EC第20题图（1）求证：DE//BC；（2）设，，试用向量、表示向量．【解析】（1）∵BD=2AD，∴，∵AE=EC，∴，∴，∴DE//BC．（2）∵，∴，∴21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，，AB=13，BC=21．第21题图H513第21题图H513121620（2）求∠BAC的正弦值．【解析】（1）Rt△ABD，，AB=13，∴BD=5，AD=12，∵BC=21，∴CD=BC－BD=21－5=16，∴Rt△ABD，AD=12，CD=16，∴AC=20.第21题图H513121620第21题图H513121620∴Rt△BCH，，∴，∴.22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）有一把长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α1.一般满足能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面米时，求全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑米到墙面上的DB也随之向后平移第22题图21.5第22题图21.575°62.5第22题图1【解析】（1），解得，在的范围内，∴能.答：，全地使用这架梯子.（2）由题：人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高，∴，Rt△AOB，，∵AD=1.5m，∴OD=5.8-1.5=4.3m，∴，解得，答：23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥，DF分别交对角线AC、底边、，且.（1）求证：ABFD；（2G在底边上，=，3AGC与△EFC的面积第23题图相等，求FC第23题图【解析】（1）∵AD∥，∴∠DAE=∠ACB，∵∠ADE=∠ABC，∵AD∥，∴∠ADE=∠EFC，∴∠ABC=∠EFC，∴ABFD.（2）∵△AGC与△ABC同高，∴EFFD，∴AGC与△EFC的面积相等，∴24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分）xOyx轴交于点A（点AB的左侧yBC的余切值为AB＝P在抛物线上，且PO=PB.（1）求上述抛物线的表达式；（2OP新抛物线的对称轴与x轴交于点E.第24题图①求新抛物第24题图②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF=∠PCO，求点F的坐标.【解析】（1）Rt△BOC，，∵AB＝（点AB的左侧①∵PO=PBOP64.②∵∴PC：∠EOF=∠PCO，∴点F在新抛物线对称轴上，∴△EOF为Rt△，xF=4，∴25．（本题满分14分，第（1）①、②小题各5分，第（2）小题4分）在等腰直角△ABCC=90°