2023年内蒙古自治区巴彦淖尔市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年内蒙古自治区巴彦淖尔市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

3.下列等式成立的是（）。

A.

B.

C.

D.

4.

5.设曲线y=x-ex在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为()．A.A.∞B.1C.0D.-1

6.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

7.设函数y＝f(x)的导函数，满足f(－1)＝0，当x<－1时，f(x)<0；当x>－1时，f(x)>0．则下列结论肯定正确的是（）．

A.x＝－1是驻点，但不是极值点B.x＝－1不是驻点C.x＝－1为极小值点D.x＝－1为极大值点

8.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

9.

10.

11.

12.

13.设z=tan(xy)，则等于()A.A.

B.

C.

D.

14.已知

则

=()。

A.

B.

C.

D.

15.

16.

17.

18.微分方程y''-2y'=x的特解应设为

A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+c

19.

20.A.e-1dx

B.-e-1dx

C.(1+e-1)dx

D.(1-e-1)dx

二、填空题(20题)21.

22.

23.24.微分方程y'=0的通解为______．

25.

26.微分方程y"+y'=0的通解为______．27.微分方程y'+9y=0的通解为______．28.交换二重积分次序=______．29.微分方程y"=y的通解为______．30.

31.设f(x)=e5x，则f(x)的n阶导数f(n)(x)=__________．

32.函数f(x)=x2在[-1，1]上满足罗尔定理的ξ=_________。

33.

34.设函数y=x3，则y'=________.

35.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]的最大值为2，最小值为-29，又知a＞0,则a，b的取值为______.

36.

37.设=3，则a=________。

38.

则b__________.

39.

40.设f(x)=esinx，则=________。三、计算题(20题)41.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．42.

43.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

44.45.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则46.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

47.证明：48.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．49.50.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．51.

52.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

53.

54.求曲线在点(1，3)处的切线方程．55.求微分方程的通解．56.

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.

59.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．四、解答题(10题)61.(本题满分10分)

62.

63.用洛必达法则求极限：

64.

65.将f(x)=1/3-x展开为(x+2)的幂级数，并指出其收敛区间。66.

67.

68.

69.函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定,求dy.70.五、高等数学(0题)71.已知f(x)的一个原函数为(1+sinz)lnz，求∫xf(x)dx。

六、解答题(0题)72.(本题满分8分)设y＝x＋sinx，求y．

参考答案

1.B解析：

2.B如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。

3.C

4.C解析：

5.C本题考查的知识点为导数的几何意义．

由于y=x-ex，y'=1-ex，y'|x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C．

6.D

7.C本题考查的知识点为极值的第－充分条件．

由f(－1)＝0，可知x＝－1为f(x)的驻点，当x<－1时f(x)<0；当x>－1时，

f(x)>1，由极值的第－充分条件可知x＝－1为f(x)的极小值点，故应选C．

8.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

9.B

10.A解析：

11.D

12.A

13.B本题考查的知识点为偏导数运算．

由于z=tan(xy)，因此

可知应选A．

14.A

15.A解析：

16.C

17.C

18.C本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点。

因f(x)=x为一次函数,且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0,r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

19.D

20.D本题考查了函数的微分的知识点。21.本题考查的知识点为重要极限公式。

22.-sinx

23.24.y=C1本题考查的知识点为微分方程通解的概念．

微分方程为y'=0．

dy=0．y=C．

25.1/626.y=C1+C2e-x，其中C1，C2为任意常数本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

二阶线性常系数齐次微分方程求解的一般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解．

微分方程为y"+y'=0．

特征方程为r3+r=0．

特征根r1=0．r2=-1．

因此所给微分方程的通解为

y=C1+C2e-x，

其牛C1，C2为任意常数．27.y=Ce-9x本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

分离变量

两端分别积分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

28.本题考查的知识点为交换二重积分次序．

积分区域D：0≤x≤1，x2≤y≤x

积分区域D也可以表示为0≤y≤1，y≤x≤，因此

29.y'=C1e-x+C2ex

；本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．

将方程变形，化为y"-y=0，

特征方程为r2-1=0；

特征根为r1=-1，r2=1．

因此方程的通解为y=C1e-x+C2ex．30.0

31.

32.0

33.

34.3x2本题考查了函数的导数的知识点。因为y=x3，所以y'=3x2

35.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因为a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0,故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.

36.(sinx+cosx)exdx(sinx+cosx)exdx解析：

37.

38.所以b=2。所以b=2。

39.040.由f(x)=esinx，则f"(x)=cosxesinx。再根据导数定义有=cosπesinπ=-1。41.函数的定义域为

注意

42.由一阶线性微分方程通解公式有

43.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

44.

45.由等价无穷小量的定义可知

46.

47.

48.

49.

50.

51.

则

52.

列表：

说明

53.

54.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

55.

56.

57.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

58.

59.60.由二重积分物理意义知

61.本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程．

相应的齐次微分方程为

代入原方程可得

原方程的通解为

【解题指导】

由二阶线性常系数非齐次微分方程解的结构定理可知，其通解y＝相应齐次方程的通解Y＋非齐次方程的－个特解y*．

其中Y可以通过求解特征方程得特征根而求出．而y*可以利用待定系数法求解．62.本题考查的知识点为二重积分的物理应用．

解法1利用对称性．

解法2

若已知平面薄片D，其密度为f(x，Y)，则所给平面薄片的质量M可以由二重积分表示为

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.∫f"(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)一∫f(x)dx∵f(x)的原函数为(1+sinx)Inx；

∴f(x)dx=(1+sinx)Inx+c