2022年黑龙江省黑河市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年黑龙江省黑河市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设函数f(x)=COS2x，则f′(x)=()．

A.2sin2x

B.-2sin2x

C.sin2x

D.-sin2x

2.

3.

4.

5.

6.A.A.

B.

C.

D.

7.A.A.4B.-4C.2D.-28.设y=sinx，则y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

9.设函数/(x)=cosx，则

A.1

B.0

C.

D.-1

10.

11.曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线的斜率k=A.A.2B.1C.0D.-1

12.

13.

14.A.A.

B.

C.

D.

15.

16.A.等价无穷小

B.f(x)是比g(x)高阶无穷小

C.f(x)是比g(x)低阶无穷小

D.f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小

17.设有直线

当直线l1与l2平行时，λ等于（）．A.A.1

B.0

C.

D.一1

18.

A.

B.

C.

D.

19.A.A.0B.1/2C.1D.∞20.A.1/2f(2x)+CB.f(2x)+CC.2f(2x)+CD.1/2f(x)+C二、填空题(20题)21.22.23.

24.

25.幂级数的收敛半径为________。

26.

27.

28.设函数f(x)=x-1/x，则f'(x)=________.

29.30.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．31.

32.

33.34.直线的方向向量为________。

35.

36.曲线f(x)=x/x+2的铅直渐近线方程为__________。

37.设，则y'=______。

38.设y=f(x)可导，点xo=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为__________．

39.40.三、计算题(20题)41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

42.求微分方程的通解．43.

44.45.求曲线在点(1，3)处的切线方程．46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．47.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．48.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．49.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

50.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．51.52.证明：53.

54.

55.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．56.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

59.

60.四、解答题(10题)61.求函数y=xex的极小值点与极小值。62.设z=z(x，y)由方程ez-xy2+x+z=0确定，求dz．63.求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．64.设y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1确定，求y'．

65.

66.求z=x2+y2在条件x+y=1下的条件极值．67.68.69.求微分方程xy'-y=x2的通解．70.五、高等数学(0题)71.分析

在x=0处的可导性

六、解答题(0题)72.设z=z(x，y)由ez-z+xy=3所确定，求dz。

参考答案

1.B由复合函数求导法则，可得

故选B．

2.A

3.B

4.D

5.B

6.A本题考查的知识点为偏导数的计算．

可知应选A．

7.D

8.A由于

可知应选A．

9.D

10.A解析：

11.C

12.B

13.C

14.A

15.D

16.D

17.C本题考查的知识点为直线间的关系．

18.C

19.A

20.A本题考查了导数的原函数的知识点。

21.

22.

23.

24.25.因为级数为，所以用比值判别法有当＜1时收敛，即x2＜2。收敛区间为，故收敛半径R=。

26.0

27.

28.1+1/x2

29.本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

30.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．

31.

本题考查的知识点为初等函数的求导运算．

本题需利用导数的四则运算法则求解．

本题中常见的错误有

这是由于误将sin2认作sinx，事实上sin2为－个常数，而常数的导数为0，即

请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为0．

32.1/21/2解析：33.本题考查的知识点为幂级数的收敛区间。由于所给级数为不缺项情形，

34.直线l的方向向量为

35.3yx3y-13yx3y-1

解析：

36.x=-237.本题考查的知识点为导数的运算。

38.39.

40.

41.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

42.43.由一阶线性微分方程通解公式有

44.

45.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

46.

47.

48.由二重积分物理意义知

49.

50.

51.

52.

53.

则

54.

55.

列表：

说明

56.由等价无穷小量的定义可知

57.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

58.函数的定义域为

注意

59.

60.

61.

62.63.所给曲线围成的平面图形如图1-3所示．

解法1利用定积分求平面图形的面积．由于的解为x=1，y=2，可得

解法2利用二重积分求平面图形面积．由于

的解为x=1，y=2，

求旋转体体积与解法1同．本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积．

本题也可以利用二重积分求平面图形的面积．64.解法1将所给方程两端关于x求导，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，则本题考查的知识点为隐函数求导法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0确定，求y'通常有两种方法：

一是将F(x，y)=0两端关于x求导，认定y为中间变量，得到含有y'的方程，从中解出y'．

二是利用隐函数求导公式其中F'x，F'y分别为F(x，y)=0中F(x，y)对第一个位置变元的偏导数与对第二个位置变元的偏导数．

对于一些特殊情形，可以从F(x，y)=0中较易地解出y=y(x)时，也可以先求出y=y(x)，再直接求导．

65.66.构造拉格朗日函数

可解得唯一组解x=1/2,y=1/2.所给问题可以解释为在直线x+y=1上求到原点的距离平方最大或最小的点．由于实际上只能存在距离平方的最小值，不存在最大值，因此(1/2,1/2)为所给问题的极小值点．极小值为

本题考查的知识点为二元函数的条件极值．

通常的求解方法是引入拉格朗日函数，当求出可能极值点之后，往往利用所给问题的实际意义或几何意义判定其是否为极值点．

67.68.本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题。