2017春季下五年级提高教师版

8+ 8+ 平[必记平方数[平方数的余数特征

本讲巩固1、本讲巩固3、本讲巩固、……这些数有什么共同的特点【解析】分别是1、2、3、4、5的平方算一算：24、90、100、144、 这些数各有多少个因数【解析】因数个数分别为、、、 个A×A=576，那么A是多少【解析】计算：3761分别除以3、4、8的余数是多少？【解析】分别余2、1、完全平方数的个位数字可能是什么?除以4的余数可能是什么【解析】个位可能是0、1、4、5、6、9，除以4的余数可能是01高8方数1布字方x开放 卡布字方x是与0和他：一个定闪而话说数学家卡布列克在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边块牌子被电劈成了两半，一半上写着3，另一半写着25.凭着数学家对数的，忽然发现个神奇的现象：30与25的和5555的平方恰是与0和他：一个定闪而这引起了卡布列克他想还有没有类似的数字呢？此他就专搜集这类字.我们以4位数为例，介绍一种利用位置原理解不 程的方

有很多 初等数为的设该数前两位为x，后为的xyxy1

y，则有xy2100y99xxy而从而看出xy xy1中有一个是9的倍数，另个是11的倍数(99是例外)，从 条件的数为44、55 是4522025，5523025，9929801.而像这种数的平方可以分割为两个数字 这两个 相加后恰等于原数的数，我们就叫做“雷劈数

以指

了，比 二进制 五年高班8

认识平方数完全平方数的定义一个整数乘以自己，如：121122223233都是完全平方数.常用的完全平方数02721422122821282152222292229216223230232102172242312421121822523225212219226262132202272完全平方数的性质例 学生版仅有⑴⑵小题⑴写出12、22、32、……、202的得数.观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数个位有什n123456789n⑵根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗?为什么⑶进一步判断，1000是平方数吗 呢?为什么[必记平方数五年级春季提高班第8讲完全平方数教师 nn4从结果可以看出平方数的个位只有0、1、4、 6、9这六种可能，且在排序时是按1、4、0⑵平方数的末位只可能是0、1、4、5、6、9，不可能是7，故20737不可能是平方⑶整十数的平方是整百数，末尾2个0；整百数的平方是整万数，末尾40；整千数的平1000、1004000都不是完全平方.例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------⑴1000更接近_ 的平方-⑵非零自然数的平方按大小排成

，第92个位置的数字 [必记平方数【解析】⑴估算.302900，312961，3221024，因此1000更接近32的平⑵1~3的平方是一位数，占去3个位4~9的平方是两位数，占去12个位置131的平方成一行，就占81个位置，从9281，还11从32到99的平方都是四位数，共占去272个位置.因此，第11

位置一定是其练------------------------------------------------------练22501之间存在哪些数的平方⑵1764是谁的平方

-----------------------------------[必记平方数-【解析】211225012500502所以这些数是2，3，⑵1764160040217642025452，故知答案在4045之间；又其末位为故知只能是42的平方 五年高班8

偶指奇因完全平方数的性质完全平方数的性质地，因数个数为3的自然数是质数的平方；例 28乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最 ，b的最小值是 [偶指奇因【解析】28227，要想使乘积或商是一个完全平方数，则每一个质因数都必须成对出现.那么必须乘或除以因数7.所以，ab的最小值都是7.例 ⑴1100100个自然数中，有奇数个因数的自然数有哪些[偶指奇因【解析】⑴只有完全平方数有奇数个因数，1～1001222，……，102，所以有奇数个因数的自然数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100224329,52257249练一

从1到400这400个自然数中，有奇数个因数的自然数有 个.有且仅有3个因数的自然 [偶指奇因五年级春季提高班第8讲完全平方数教师 拓展一个房间中有100盏灯，用自然数 号，每盏灯各有一个开关.开始时，所有灯都不亮.100个人依次进入房间，1个人进入房间后，将编号为1倍数的灯的开关按下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，开；如此下去，直到第100个人进入房间，号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开.问：第100【解析】对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，当它的开关被按奇数次时灯是开着

根据题意可知，当第100个人离间后，一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯的编 是问哪些灯的编号的因数有奇数 ．显然完全平方数有奇数个因而1～100的完全数1，49，16，25，36，49，64，81，100，所以当第100离间后，房间里还亮着的灯的编号是 余数特征完全平方数的5301；401；完全平方数除以8只可能0，14；完全平方数除以16只可能0，1，4例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------学生版仅有⑴-⑴111，111，1111，有多少个平方数⑵114，144，1444，14444，……，这些数中有多少个平方数

[平方数的余数特征【解析】⑴由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶 ，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被整除．现在这些数都是奇数1它4的余数都是3，所以只有1个完全⑵共3个，分别是1，144，1444(38的平方11除以4余3

444361111 五年高班8拓展(ab)2a2b22ab，可证明除以3余2的数平方后除以3余1.证明过程如下：(3n2)23n)223n2229n212n40011(mod3.仿照上述形式，试证明：平方数除4只能余01.后可得到(2n1)24n24n121(mod4或(2n1)24n)24n121(mod4)判断下面有没有平方数?[必记平方数介于172和182之间，因此也不是平方数. 是不是平方数?如果是，它是谁的平方；如果不是，那么它介于哪两个平方数之间[必记平方数360与a相乘之积为完全平方数，求正整数a的最小值.[偶指奇因【解析】36023325，为了使全部的质因数指数都为偶，需要 251010000以内的自然数中，有且仅有3个因数的自然数有多少个?[偶指奇因 中是否有平方数?如果有，它是谁的平方?[平方数的余数特征五年级春季提高班第8讲完全平方数教师 开学前，宁宁拿 给的30元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支4元，铅笔每支完两种笔后把钱花完，请问：她一共买了几支笔

，宁买 又 据分【解析】由于题中圆珠笔与铅笔的数量都不知道，但总费用已知，所以可以 不定方 又 据分的数量，进而得解．设她买了x支圆珠笔，所以3y304xy103

铅笔， 意列方程：4x3y均，，位x、yx3时x均，，位

为整数，所以x应该能被3整除y6，xyy2，xy

因为1 7，所以x3或所以宁宁共买了9支笔或8支笔0盐用20克盐，加水稀释成浓度为5% 水，则需 0盐【解析】2005%40004000求阴影面积(

3800：厘米π取3.14【解析】40÷223.1440÷22÷2424562912 计算75 1717 105 【解析

；17；

将下列分数化成小数8【解析】0.440.72将下列小数化成分数 【解析528 五级春季提高班8版9+[定义新运算进9+[分数四则混合运算[分数比较大小]★★★★ [放缩与估算]★★★ 本讲巩固51、比较0.01、0.1、0.12、0.121的大小,并用“<”连接2、345的大小,并说明为什么.777呢 34577 31615的大小.（16建立桥梁 【答案】16 、1.707、1.07、17.7%、1.7中最大的数 【答案】【解析】1.707，拨：应用数的概念三，比大小的方法.先都写成小数，再从比.1.7071.71.0717.7%5、在55、5.5和55.5%这三个数中，最小的数 991五年级9讲比较与估算教师版1费米估算法1945年7月16日上午，世界上第一颗在新墨西哥州沙漠地区美籍意大利物理学家恩利克·费米把笔记本里的一页纸撕碎了，40秒钟后，震波传到费米和他的同心算之后费米宣布，能量相当于10000吨 费米不仅仅是一位伟大的物理学家，同时还是一位启发学生思维的教育家，他特别喜欢用估25552五年级9讲比较与估算教师版2分数小数比较大小的一般方法较．(2)通分母：分子小的分数小.例 ⑴把下4小数用“<”连接起来：1.121,1.121,1.121.12121⑵比 71139,9,3的大小,用“>”连接起来⑶比较3.1422、的大小7

[分数比大小→1.121→1.121→1.121→1.121→1.120原

41211

76

41171.

,所以3.14 3.1428577

73五年级9讲比较与估算教师版3练一

4,7

[分数比大小740.5714287

0.571428 例 ⑴用“＞”13,3, ⑵把下列分数用“”号连接起来： ,15, 231：39714713 24 法2：与1比较,1311,311,711,所以7 8

[分数比大小⑵这三个分数的分母都不相同,要通分变成同分母的分数比较麻烦．再看分子,60正好是10、15、20的公倍数．利用分数的基本性质,可以将题中的各分数化为分子都是60的分106015602060606060；也就是102015 练一

2515 按从小到大的顺序排列3823

[分数比大小们可以用通分子的方法,分子的最小公倍数是30．给出的4个分数依次等于：30,30,30,30.从小到大排列依次为105 4五年级9讲比较与估算教师版4糖水原理(1)若0b1,m0bba a (2)若0bd1bbd a 比倒数：倒数大的分数小bd，则bcad (4)1，则被除数大；否则除数大．例 (学生版仅有⑴~(4)题⑴我们已经学过浓度的公式：浓度= 果此时再向糖水里加糖,现在糖水的浓度 （填“高”或“低”）了⑵比较以下各数的大小：

100%如 5 5 5 5

5

；你发现什么规律了吗?根据这个规律可知 616 6 6（内填大于、等于或小于m是不为0的自然数⑶比较下面三个数的大小25364大,5 ⑸满足下式的括号里的数有多少个自然数：1 51 (

6[分数比大小【分析】糖1：275 3 2255 3 5五年级9讲比较与估算教师版51：4599455 11

两

1：14,

=511

=5

283 712和之间的一个分数；

,因此（）１

两边的关系,=,因此 ）15．根据以上分析,可以确定（）中能填入3示“糖水原理”中的第一条时,教师可以用糖水浓度进行讲解,首先说明糖的重量小于糖水的重量,糖水越甜,说明糖与糖水的比值越大,把b看成糖,a看成糖水,再加些糖m后会出现什么现象呢（当然变甜了）因此bbm；第二条可认为两杯糖水混合,混合之后 a的浓度一定在两者之间例 11111的大小.你能想到多少种办法 ⑵比较大小：

44443（填”,

[分数比大小]【分析】1：111111 111 11111111112321,同分母分数,分子大,分数大.因

11111 .111111111111111. ,因此

. ,法4：倒数比较.11110,

1111101,1

.倒数大,原数小.因此11111

111111.10.11 ； ；6五年级9讲比较与估算教师版6.0.1111.6abc

abc

11

0.0990.099099,

0.0999999 999 11111 7111101101 1110 ⑵扩倍用规律比11110 4444044440344443 88884 A、B、C三队比赛篮球,A83:73B队,B88:79C队,C84:76A队,三队中得失分率最高的出线,一队得失分率为,A队得失分率为8376, 73队出线【分析】A,B,C8376159;7388161;798416373 15783 16288 A1的A最大,则A队出线放缩法求整数部分7五年级9讲比较与估算教师版7例 (学生版仅有⑴题⑴算式111 1的整数部分 ⑵已知:A1111111,则A的整数部分 【分析】⑴111 1111 1 11 1111 1 ⑵A1(11)(1111)1(11)(1111) A11(11)(111)11(11)(111)2 7

[放缩与估算]PKPK，直到在某个对应位置出现较．(2)通分母：分子小的分数小.(3)通分子：分母小的分数大(6)bd，则bcad (8)比商法：两个分数相除，商大于1，则被除数大；否则除数大．⑴若0b1,m⑵若0bd1bbdabb a a 8五年级9讲比较与估算教师版8比较下列分数的大小,说一说你的方法 [分数比大小]⑴87 79 30⑵35 744 5【分析】877> 3请

2,3,5,

按照从小到大的顺序排列 [分数比大小] 357 【分析】30,2303305301530 32515 在11,12,13中,最小的分数 [分数比大小]1213 比较13、133的大小 [分数比大小] 法1：化小数.1339 0.3939,133399

0.39

0.3990.399,因此 2：糖水原理.131301303

比较大小：1111111 [放缩与估算] 21011121314 【分析】15 1115151,所以两个空都填

11 14

把50克浓度为50%的盐水和100克浓度为20%的盐水混合,问混合后盐水的浓度是多少【分析】混合后5050%10020%100%30%509五年级9讲比较与估算教师版9计算阴影部分的面积.（图中数据单位：厘米）（π3.145223.1445525÷239.252514.25（平方厘米324是谁的平方?324分解质因数上坡的路程和下坡的路程相等，一辆汽车上坡速度与下坡速度的速度比是3∶5，这辆汽车上坡与下坡用的时间比应是甲、乙两车往返于A，B两地之间.甲车去时的速度为60千米每时，返回时的速度为40千米每时；乙车往返的速度都是50千米每时.求甲、乙两车往返一次所用时间的比.【解析】一条公路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1:2:3，张叔叔骑经过各段路所用时间之比是3:4:5.已知他在平骑车的速度是每小时25千米.他行完全程用了小时.【答案2.4620254544345122.4 五年级9讲比较与估算教师版程+程+[比例行程基本知识

本讲1、2本讲3、45A、B两地相距100米，从A地去B地，每秒走1米，则几秒可以走完【答案】100A地去B地，若每秒1米，则100秒可以走完;若每秒走2米，则多少秒可以走完【答案】50AB，原计划10分钟到;出发时，速度提高到原来的2倍，则现在几分钟到【答案】5化简下列比：39: 2:3

119:6 18:10【答案】13154:93:4骑车去学校，计划速度是每秒5米，实际上速度比计划快了20%，那么实际速度是每秒多少米？【答案51206米/1高10行程师1小狗跑了多远？约翰·冯·诺依曼 ann，1903~1957，美籍匈牙利人，20世纪最重要的数学家之一

计算机之父和博弈据说在一次晚宴上，一个年轻人曾经问过冯·诺依曼这样一个问题：两个人相隔 米，各以每50米的速度相向而行.一只小狗从一个人那里出发，以每分钟75米的速度，在两个人之间来来跑个不停，直到两人相遇，小狗跑过的总距离是多少这个问题应该很熟悉了，两人相遇的时间就是小狗跑的时间，用

间乘狗的速度就是了.苏步青先生在德国的一个公共汽车上，也问过类似的问题

这个题对大数学家冯·

依曼自是难事了，他沉吟几秒后回答：应该是150米，提问的年轻很失望，说你以前一定听这个诀窍吧他指的是上面的这个做法.冯·诺依曼说：“什么诀窍？我所做的就是把狗每次跑

的都算出来，然后那么冯·诺依曼是怎么计算的呢？我们设小狗从一个人跑向另一个人视为一趟，第n趟两人之间离为an，那么小狗花费的时间为 ，前一趟两人距离为a70

，那

an1505075化简aan1就是每一趟小狗跑的距离是下一趟距离的

倍，第一趟小狗跑75 120米而小狗跑的总距离就是120120120 1 n可是穷大哦2 75 1、多学习几种方法，只局限于自己的习惯很容易陷入惯性思维——像冯2、如果只习惯用自己的方法，那么就用到炉火纯青——像冯·诺依曼一样

诺依曼一样2班10行程师2比例法的基本应用①当时间一定时，路程之比等于速度之比，即TTSSV:V②当速度一定时，路程之比等于时间之比，即VVSSTTSSVT甲VT乙例 A、B两地距300千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发⑴甲车的速度是30千米/时，乙车的速度是20千米/时，则两车的速度比为 间两车相遇，相遇时甲走了 千米，乙走了 千米，两车的路程比为.⑵甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时两车的路程比 ⑶甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是30千米/小时，各自走完全程，甲车的行驶时间是,乙车的行驶时间 ,两车行驶的时间之比 [比例行程基本知识:路程比32⑵3:2例 ⑴甲乙两人的速度比为4:5，两人同时出发，行走的时间比为3:7，则甲乙走的路程比 ⑵甲乙两人要走的路程比为3:2，甲乙的速度比为4:3，则甲乙的时间比为⑶甲乙两人的路程比为7:8两人用的时间比为65甲的速度为70千米/时则乙的速度为[比例行程基本知识47835487063五年级春季提高班103-练------------------------------------------------------ -----------------------------------练3:5，两人同时出发，行走的时间比为7:4，已知甲最终走了42米，则乙【解析】路程=速米

例行程基本知识×时间．因此甲，乙的路程比为(37):(54212042:40，乙走了40行程中正比例模行程的正比例行程的正比例模型是指时间一定，路程和速度成正比正比例模型常见于相遇追及问题，若甲乙同时出x:y，设两人所行路程和为S两程x:y，路程xxS，乙走的路程yxS例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------甲乙两人同时从A地出发前往B地，甲骑车的速度是15米/秒，乙步行的速度是5米/ ，如果甲到达B地后立刻返回，请问两人在哪里相遇?-[行程中的正比例模型【解析】甲乙两人的速度比为3:1，共走完了2倍的全程，所以走21

1，两人在中点2例 ------------------------------------------------------

------------------------------------甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度都 千米/小时，学校有一辆汽车它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班达公园，设两地相距150千米，那么各个班的步行 离是多少?

学生在最短时间内到[行程中的正比例模型 【解析】由于汽车速度是甲乙两班步行速度的12倍，设乙班步行1份，汽车载甲班到A点 返回到点相遇，这样得出BD:BA1:[(121)2]1:5.5汽车从A点返回最终与乙班同时到达C点，汽车又行走了12份， 以总路程分成15.517.5(份)，所以每份1507.520(千米)，所以各个班的20千米4班10行程师4练一

甲、乙两班学生到离校39千米的博物馆参观但只有一辆汽车一次只能乘坐一个班的学生．于是甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的10倍那么汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生才能使两班同时到达博物馆?[行程中的正比例模型 车的路程和步行的路程也分别相同，也就是说图中AB与CD相等．又乙班走完AB时，汽车行驶了从A到C再从C到B这一段路程，由于汽车速度是他们步行速度的10倍，所以汽车走的这段路程是AB的10倍，可得BCAB的10124.5倍，那么全程ADAB6.5倍，CD6.5CD为396.566行程的反比例模型五年级春季提高班第10讲比例法解行程教师 例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------一辆汽车从AB地.（V1为原的速度，V2为变化后的速度-⑴若速度提高了20%后，每小时快了20千米，V1:V2V2

_，V1⑵若速度降低了25%后，推迟30达到，求以V1到B地所需的时间1⑶若速度降低15千米/，

，求原来的速度6

[行程中的反比例模型【解析】⑴速度的比为5:6，速度的差为20千米/时V1100千米V2120千米所需的时间为30×3=90分钟=1.5小时.原来的15×7=105米/时.-练------------------------------------------------------ -----------------------------------练设原速度为v1，提速后的速度为v2，以原速度行驶用的时间为t1，提高后的速度行驶用的时间为t2⑴同样的路程，提速20%，则v1:v2 ，t1:t2 ，若两次相差1小时，则原用 小时．⑵同样的路程20%，则v1:v2 ，t1:t2 若两次相差1小时则原来用 [行程中的反比例模型v1v256t1t2656,⑵v1:v25:4，t1:t24:5，4,A、B两地距离270千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发①甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是②甲车的速度是63千米/时，乙车的速度是

千米/时.相遇时距A地 千米/时.相遇时距A 千米[比例行程基本知识【解析】A150米，时间同，速度和路程②距162千米，相遇的位置和速度的比值有关，和速度的大小无6班10行程师6①甲乙两人同时出发，速度比为2:3，行走的时间比为3:5，则甲乙走的路程比 ②甲乙两人要走的路程比为5:4，甲乙的速度比为3:2，则甲乙的时间比 [比例行程基本知识3AB地，5:1，B地后立刻返回，[行程中的正比例模型1 3A、B两个连队同时从营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好的人员，为了让两个连的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两连的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两连士兵到达目的地一共要多少时间?[行程中的正比例模型【解析】由于卡车的速度为士兵行军速度的5倍，因此卡车折回时已走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的3倍，而卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的2倍，卡车接到B连士兵后，还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程才能追上A连士兵，此时他们已经到达了目的地，因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程，所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米，而卡车的总行程为(3+2+3)×8=64千米，卡85从甲地到乙地，若提速30%，可提前30分钟到达，则原计 分钟到达[行程中的反比例模型圆心角为36的扇形的弧长为3.14厘米，则这个扇形的面积 平方厘米.(取

3652两个整数的平方和为313，则这两个整数的和 7五年级春季提高班107试比较下面几个数的大小4,0.1667, 【解

40.1610.1666

41 填空 【答案】6、1、2、0；37、计算 【答案】计算 【答案】111119468班10行程师8+位理[+位理[完全平方数[位值原理的表示] 本讲巩固1、[位值原理的完全拆分]★★★ 本讲巩固3、4[位值原理的整体换元]★★ 本讲巩固5123中有几个100，几个10，几个abc中有几个100，几个10，几个【答案】 cdef 1000 100 10 abba的和 b (a+b),一定是谁的倍数111值原师1数学——冯·诺依据他原理制造的，冯·诺依曼打破常规，提出计算机采用二进制而不是我们习惯的十进制编码，“我从昨天晚上一直算到今晨4点半，总算找到那难题的5种特殊解答.它们一个比一个更难咧！”人把题目讲给他听，教授顿时把自己该办的事抛在爪哇国，兴致勃勃地提议道：“5大家都想见识一下教授的“神算”本领.只见冯·诺依曼眼望天花板，不言不语，迅速进到“入定”状211值原师2位值原理的认识22个百，这种数字和数位结合起来表示数 ，…，a，a是09中的一个，a0Na10rr rrr10r1 a10a10填空⑴3652022021002102⑵aaa；abc；aabb；⑶abcdabcabaabcd⑷ab1234ab23ab34⑸9a8b7ab[位值原理的表示【分析】⑴3，6，5；10000,100,10;⑵111a100a+10b+c⑷100000,10000,1000,100,10,10000,100,1;例 学生版仅有⑴小题及⑵小题第1⑴用数字1、2、3各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和 ⑵三个互不相同的数字，可以组成6个不同的三位数，知道这6个三位数的和为2886，那么： [位值原理的表示【分析】a、b、c222abc2886abc13；931.311值原师3补充三个不同的非零数字a,b,c共可以组成6个不同的三位数，这6个三位数之和一定是 练一

从1～9 九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330，则这三个数字的和是 [位值原理的表示同的三位数之和为222a＋b＋c)=3330，推知a＋b＋c=15.位值原理的完全拆分例 ⑴如果ab7a0b，那么ab等 [位值原理的完全拆分【分析】a a0通过分析b7b知道b53，a73a0a1abab7a0b(a10b7a100070a7b100a30a6b5ab所以a=1，则111b＋11c＋d=1370－1111=259，111b＋11c＋d=259.推知b=2；则222＋11c＋d=259，11c＋d=37411值原师4练一

一个两位数，是它各个数位数字和的9倍，求这个两位数[位值原理的完全拆分这个两位数为81.例 学生版仅有第⑴题⑴一个4位数，它和它的反序数的和是以下4个数中的一个这两个4位数的和到底是多少⑵以五位数为例说明：其原序数和反序数之差一定是99的倍数．[位值原理的完全拆分abcd＋dcba(1000a100b10cd)(1000d100c10b1001a110b110c ⑵abcde－edcba b100c10d d100c10b9999a990b990d拓展一辆汽车进入高速公路时，处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行驶，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又经一小时后看到里程碑上的数是处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【分析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a；第三个为100a+b；由题每小时走61-16=45；(601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位511值原师5 a1a0的形式，其中ar，ar1，…，a1，a009中的一个，ar0，有Nar10ar1 a110a0rabcdefa100000b10000c1000d100e10f1000abc位值原理的整体拆分例 【分析】设这个数为10x+6，则即40x24=600000x，39x599976，x填空：1x2y3z x2 y3z

[位值原理的整体换元[位值原理的表示有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个 [位值原理的表示abc100a10bcacb100a10cb222abc1554，abc15542227.在一个两位数的中间加上一个0,得到的新数比原来大8倍，原来的两位数 [位值原理的完全拆分.[位值原理的完全拆分611值原师6已知x,y,z均为数字，且满足4xyz2xyz8，则xyz

[位值原理的整体换元【分析】xyza，则原式为4a2a8，整理得(4000a210a8下列四个数中哪个数是完全平方数 A. B. C. D.将下面的数按从小到大的顺序排列起来2312 ,, 3413【分析】237 从A地去B地，若提速50%，则可以省1小时，那么原计划 小时一个长方体的长，宽，高分别 4，3，2，则此长方体的表面积 ，体积 【答案】下图是由6个棱长为2厘米的小正方体堆叠而成的几何体，求该几何体的表面积711值原师762的小正方体，表面积变成了多少?[长方体挖【答案】811值原师81和2+1和2+

本讲巩固1、2、本讲巩固3、正方体有几个面?几个顶点?几条棱【答案】下图能否拼成一个正方体【答案】不能【答案】如下所示，对立面在展开图上相间不相邻○×△×△○下图是由5个棱长为1厘米的小正方体堆叠而成的几何体，求该几何体的表面积【答案】22平方五年级春季提高班第12讲立体图形和空间想 下图是由一些棱长为1厘米的小正方体堆叠而成的几何体，该几积可能是多【答案】9立方厘米或10立方厘不可能图形A ？这个立体图形在现实世界中是不可能存在的！

积木的玩具而已不相信？如果我们只看白色这个平面，那么在三维

坐标系中，A、B、C在一个平面中，它们是处于同一高度，然而我们再看灰色部分就会发现：“A竟然在B的上方”，显然这是自相的形.这个图形叫做“彭罗斯三角形”，它最先被瑞典艺术家奥斯卡造出来，而后在20世纪50年代数学家彭罗斯所推广.其特点被以不可能图形为灵感来创作的艺术家埃舍尔在其作品中很好阶梯等.彭罗斯阶 彭罗斯正方

体现出来2 五年级春季高班12

立体图形和空间立体图形展开图正方体展开图口诀：正方体展开图口诀：对面相隔不相连，识图巧排7凹田.1411类不同的展开图；141型(四方成线两相卫)6种，231，33型(像失蹄的马)4种，222型(像阶梯)1种．相对的两个面展开后不相连，展开图不可能出现以⑴正方体的展开图 种，你能都画出来吗A. B. ⑵下图表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是A、B、C、 中 五年级春季提高班第12讲立体图形和空间想 3【解析】⑴C⑴题有如下11种展开图，建议老师先讲第⑴题，再讲其他小题．1：141类型 类型 练------------------------------------------------------练选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是

------------------------------------例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------学生版只出现第一-⑴如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形

⑵下面这个正方体展开之后究竟哪个展开图是正确的?你能把

错误的图形改正确吗 五年级春季高班12

立体图形和空间画上面或下面的正方形的主对角线；B图正确；C图错在对角线方向，把三个对角线都改成副对角线即可；D图图案相对位置都正确，但展开图本身错误，可把上方的正方形练一

在正方体表面上画有如左图所示的三条线段，请你在右边的展开图上画出对应的另外两条线段[图形展开图C C BCEE CEE FBH G已知三视图求解例 ⑴已知某立体图形的三视图如下，每个小正方形的边长都 1，请问这个立体图形的体积是多少[三视图求体积正视 俯视 侧视⑵将一些棱长是1的小正方体堆放成一个立体，图2是这个立体的俯视图、正视图和左视图五年级春季提高班第12讲立体图形和空间想 这个立体的体积最小 1【解析】⑴在俯视图上标数，可知一共有6块，体积为6.如下122⑵俯视图标数法，18个，如下图（方法不止一种123111113112-练------------------------------------------------------ -----------------------------------练已知某立体图形的三视图如下，每个小正方形的边长都 1，请问这个立体图形的体积是多少[三视图求体积【解析】9；立

正视形如下左图（画出了

俯视

侧视12123111或者可以在俯视图（底座）上使用标数，数字代表这一面上的层数，如-例 -------------------------------------------------------

---------------------------------- 五年级春季高班12

立体图形和空间用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图a，从正面看这个立体图形，如下图b，则这个立体图形的体积最大是 [三视图求体积 21221212最小值21111212拓展在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左图，从侧面看如右图，那么他最多用 块木块，最少用 块木块[三视图求体积31312321223123310000200003五年级春季提高班第12讲立体图形和空间想 7综合应用例 ------------------------------------------------------ ----------------------------------一个无盖的铁皮展开图如下图所示（图中数据单位：米，求这个的容积-[图形展开图]-7745【解析】长+宽

宽+高=4，长+高=5

长=4，宽=3，高=1，43112（立方米正方正方体展开图共11种正方体的展开图14条边，7刀剪开由三视图求原图形时，可以在下列图形经过折叠不能

成正方体的

【解析】右图是左边的正方体的展开图，正方体表面上画了3条斜线段CA、CF、CH；请在开图上画出缺失的斜线段：

右面的CE CE BH 8 五年级春季高班12

立体图形和空想象【解析】如图：标点法标出H、G、F等重要 H BGF小华用相同的若干个小正方体摆成一个如图所示的立体图形.从上往下面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的 _.（填序号）

[三视图求体积将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a），从左向右看到的视图是图（b），从上向下看到的视图是图（c），则这堆木块最多共有 [三视图求体积 【解析】对于图c来说，每个小方块都摞了2层，最多有6沿下图的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积 立方厘米比较下面两个数的大小：90.8【解析】0.808081 五年级春季提高班第12讲立体图形和空间想 甲和乙分别从AB地甲乙的速度比为2:3甲比乙提前时到达．那么当甲到B地时，乙还需要几小时才能到?

2小时出结果甲共用3【解析】甲乙的速度比为2:3，那么路相同的情况下，时间比是3:2.所以若甲用3小时，那2甲到达时，乙还需2321小时才能ab5=29(a+b)（其中a、b均为数字）则ab 【解析】100a10b529a29b，即71a519b，a应当小3，枚举可知a1，b4．ab一个扔两次，所得点数之和 __种不同的情况一个黑色盒子中放有5个小球，分别为红色、黄色、白色、蓝色、绿色⑴从盒子中拿出两个小球，⑵从盒子中拿出两个小球， 【分析】C210C1

那么 种不同的情况其中一个是红球的 种不同的情况从A、B、C、的安排方式．

E、F六位同学中先选出2个人扫地，再选1个人拖地

，一共 种不 C2C115460 五年高12

立体图形和空间[计数计算概率

本讲巩固1、2、3、4、艾迪切下一整块蛋糕3

1打 不同意，便从艾迪的蛋糕上切掉一部分，35133 一般来说，投掷一枚硬币结果是正面朝上或 朝上的可能性是相等的，各自占 2东东有一次凑巧连续投掷出10次正面，请问他第11次投掷出正面的可能性是多少？【答案】可能性仍为1，与前面无关2薇儿抛一枚两次,一共会出现多少种不同的情况?和为 的情况占总数的多少36老师从6个人里选3个人参加游戏，有多少种不同的选择方法？【答案】C365420 32【答案】C26515 21高班13师1换还是不换？这是个问题！曾将有这样一档电视，参赛者面前三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，另外两扇门后面则各藏有一只，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车.当参赛者选定了一扇门，但未打开之前，打开剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只.之后会问参赛者要不要换另一扇213参赛者挑汽车，挑一号.转换将失败，参赛者挑汽车，挑二号.转换将失败.此情况的可能性为：11111. 2这个概率是

2五年级13率初师2认识概率朝上,但可以确定只会出现其中一种情况,这样的试验就叫做随机试验. 朝上发生的可能性是相同的,我们称它们为等可能事件.足某个条件的概率.小学范围内概率m.其中 mn需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出不确定事件,概率是0到1之间的一个数；有些事情是一定发生的(如：概率是 掷出7点),这样的事件叫做不可能事件,概率例 口袋里装有100张卡片,分别写着1,2,3,…,100.从中任意抽出一张.请问⑴抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少⑵抽出的卡片上的数是质数的概率是多少?是合数的概率是多少?既不是质数也不是合数的概率是多少?⑶抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少?是奇数的概率是多少?既不是偶数也不是奇数的概率是多少?⑷抽出的卡片上的数正好是101的概率是多少?抽出的卡片上的数小于200的概率是多少[基本概率【分析】⑴⑵251；7437； ⑶50

501； ；练一

有一枚标准的，六个面的点数分别是1、2、3、4、5、6，且相对的两面的和是7.投掷这个骰子一次，请问：⑴数字“5”朝上的概率是多少⑵数字不超过“5”的概率是多少⑶数字超过“6”的概率是多少?数字不超过“7”的概率是多少3五年级13率初师31“5”朝上的概率是65，所以概率是；6 例 （学生版仅出现前三问艾迪在愉快地玩飞镖,1所示,投掷到对应的区域得到对应的分数.10分所对应的圆半径为1,每向外一层则对应圆的半径加1,投掷一镖后,假设艾迪没脱靶,请问：5656789图 图⑴艾迪得到10分的概率是多少⑵艾迪得到的分数大于5分小8分的概率是多少⑶艾迪至多得到8分的概率是多少⑷突然,艾迪发现了一种新型靶盘,如图2所示,红域称为幸运区,红域对应的圆心角是60投掷到红色的区域也可以得到10分,求艾迪得到10分的概率是多少[基本概率⑴10,最大圆的面积是36101

4936432,对应的概率是 8

158118

,所以总的面积是6

6

65 641

4五年级13率初师4概率中的经典模型相互独A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个对立事件：特别地,如果互斥事件A和B中必有一个发生,则称事件A和B为对立事加法原理：互斥事件A和B中至少有一个发生的概率等于A发生的概率加B发生PABPAP(B1.特别地,对立事件A和B中至少有一个乘法原互独立事件A和B同时发生的概率等于A发生的概率乘B发生PABPAP(B)例 袋子中有大小、形状都相同的红球、蓝球、绿球各2个；⑴从中无放回地摸出2个球,2个球都是红色的概率是多少⑵从中无放回地摸出2个球,2个球颜色相同的概率是多少?2个球颜色不同的概率是多少⑶从中有放回地摸出2个球,2个球颜色相同的概率是多少?2个球颜色不同的概率是多少[基本概率2 C26【分析】⑴无放回地摸球,2个球都是红色的概率是 6 ⑵颜色相同,可以都是红色、蓝色或绿色,概率为311

C 颜色不同可以从114得出,也可以先算一个红球一个蓝球的概率为2224 C1

4 2 C2C63

4 ⑶有放回地摸球,23221 颜色不同的概率是1122222C12 2

C1 322 5五年级13率初师5练一

薇儿在玩抛硬币的游戏：⑴如果抛一枚硬币,3次中,2次朝上,1次朝下,问第4次硬币朝上的概率是多少⑵如果抛两枚硬币1次,两枚都正面朝上的概率是多少?一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是多少至少有一枚正面朝上的概率是多少⑶如果抛三枚硬币1次，三枚都正面朝上的概率是什么?一枚正面朝上两枚背面朝上的概率是多少?[基本概率2111 1112111 朝上,另一枚正面朝下,对应的概率为C1111 考虑,先求全部背面朝上的概率是111,则至少 枚正面朝上的概率为113 1111 31113 例 袋子中有大小和形状完全相同的1个红球和5个白球,A、B、C、D、E、F六人按顺序每人摸出个球,谁摸到了红球谁就获胜,那么：⑴A获胜的概率是多少?B获胜的概率是多少?6个人中谁获胜的概率更大⑵种规则下,谁获胜的概率更大?[基本概率 6 6551,D5551 获胜的概率更大,且B、C、D、E、F的概率依次递6五年级13率初师6练一

A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表,人一共制作了六枚外表一模一样的签,其中只有一枚刻着“中”,六人按照字母顺序先后抽签,抽完不放回,谁抽到“中”字,即被推选为代表,那么这六人被抽中的概率分别为多少?

[基本概率511

5

C抽中的概率为5411D抽中的概率为54311E抽中的概率为 543211F5432111

综综如图所示,将球放在顶部,让它们从顶部沿轨道落下,每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落,有一半的可能向右滑落.球落到底部的从左至右的概率依次是 113111112121181 7五年级13率初师7 加法原理ABAB发生的概率,记为PABPAP(B).特别地,A和BPAB)PA)P(B)1.P(AB)P(A)P(B)生活中的概率例生活中的概率学校打算在1月4日或1月10日组织看.确定好日期后,老师告诉了班长,但是由于“四和“十”发音接近,班长有10%的可能性听错(把4听成10或者把10听成4).班长又把日期告诉了小明,也有10%的可能性听错.那么认为看的日期是正确日期的可能性为 [计数计算概率]【分析】相互独立事件同时发生直接概率相乘,两次都传达正确或者两次都传达错误都会认为是10.110.10.10.10.8282%.有数颗质量分布均匀的正方体,六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,且相对的两面的和是⑴如果抛1 ,数字“2”朝上的可能性 ⑵如果抛2 ,点数之和为6的概率 .点数之积为6的概率 16⑵根据乘法原理,先后两次掷出现的两个点数一共有6636种不同情况．将点数和1,5,2,4,3,3,4,2,5,1点数之积为6的情况1623326,1

41 8五年级13率初师8如果飞镖随意地投向下图所示的木板上且不脱靶,那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是_.(用分数表示4442126 【分析】即求阴影部分占总面积的比例 22136 一个口袋里有5个黑球和3个白球,从中无放回地取出2个球.请问：⑴这两个球颜色相同的概率是多少⑵这两个球颜色不同的概率是多少

545323 C2C 10 C 或 3 C

8C1

⑵颜色不同的概率是 3 或1 8C 8 A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表,人一共制作了六枚外表一模一样的签,其中只有一枚刻着“中六人按照字母顺序先后抽签,抽完放回,谁抽到“中”字,即被推选为代表,那么这六人第一轮被抽中的概率分别为多少?谁被抽中的概率最大?【分析】A第一轮被抽中的概率是1,B第一轮被抽中的概率是51,C第一轮被抽中的概率是 6551,D5551,E55551 555551.A 9五年级13率初师9任意向上掷一枚硬币若干次⑴那么第4次掷硬币时正面向上的概率是多少⑵如果掷4次,恰有两次正面朝上的概率是多少2

2C211113 正面的有C26263 A、B两地同时出发,相向而行,1.5倍,两人走到对方的出发点后都立即返回,如果AB两地相距1000米,问：甲乙第二次相遇的地点距A地多少米?2份.第二次相遇时合走了3个全程,甲走了9份,即一个全程又多了4份,距A地1度,为10005200一个两位数,是它各个数位数字和的3倍,求这个两位数ab,则由题10ab3(ab7a2ba2,b7下图中,能折成正方体的有哪些 五年级13率初师1、100个人参加测试，要求回答五道试题，并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格，测试结果是：答对第一题的有81人，答对第二题的有91人，答对第三题的有85人，答对第四题的有人，答对第五题的有74人，那么至少有多少人合格？题中互相交错，关系很复杂，不太好考虑，如果从考虑，想“最多有多少人不合格？”不合格，也就是至少有100－30=70（人）合格.2、六年级共有190个学生参加考试，数学考试178人及格，语文考试有181人及格，英语考试有174人及格，那么三科全部及格的学生至少有多少人？跟[题目1]一样也不太好考虑，如果从考虑，思考“不是三科全部及格的学生至多有多，3、电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为多少？题设的数字一定是和情况很靠近的值），最大的显然是19:59这一时刻.它的和为41440五年级13率初师情+情+[计数中的考虑[最值中的考虑

本讲巩固1、本讲巩固3、4、从4个男生和5个中选出5个人，至多选3人，那么男生至少 人【解析】5- 名队员两两配对，进行淘汰赛，要决出冠军，需要 场【解析】淘汰赛，每次淘汰1人.从8人到剩下1人，淘汰了7人，因此需要比7用3个2分的硬币，5个5分的硬币，能构成2分，4分，5分，6分，……，则能构成的第三 【解析】构成最大的钱数为31，第二大的钱数为31-2，第三大的钱数为31-如图，平行四边形的面积为18平方厘米，阴影部分面积 平方厘米【解析】一共有3×6=18个角形，空白部分是4个三角形，阴影部分则为18-5=14个角形面积为14平方厘米 计算：C9 C18 【解析】C9C1 C18C21五年级春季提高班第14讲 情况考虑教师1是逆向思维的错吗？虎“老悖论”是博弈论中一个著名的逻辑悖论。国王要处决一个犯，但给他一个生还的机会。虎

犯被带到5扇紧闭的门前，其中一扇后面一只。国王对犯说：“你必须依次打开这些门。我可以肯定的是，在你没有打开关着老虎的那门之前，你是无法知道是在那扇门后。”显然，如果犯有可能在打开有的那扇门证明国王撒谎，么就可活命。门之前进了如下分：

前知道，假如在第五扇门，那

他把前四扇门打开后都没发现那他肯定猜到在

五扇门依次类推，不存在任何一道门后；犯这时就不再多想，冒冒失失

，肯定不在第五，既不在第五扇门次推门，结果从 在哪扇门后总是出乎你的意很明显，这个推理结果是错误的，那么到底是哪里出错了呢？难道是我们利用数学归纳法倒推错论证方法没问题，问题的关键在于——国王的

身就有逻矛盾，推理的前提：1、门一只；2、前4扇门没有老虎；3、不可预料，根据前提1、2可以推出第五扇门有老虎，这与前提3的，如果国王严格按照自己的逻辑放置老虎的话，老虎放哪个门都不行，而徒在错误的前提下推断出的结论当然也是错误的，“没有”与“门后有只”本来就是嘛！几何中的解数学题,需要正确的思路．对于很多数学问题,通常采用正面求解的思路,即从条件出发,求得结论．但是,如果直接从正面不易找到解题思路时,则可改变思维的方向,从结论入手或从条件及结论的 进行思考,从而使问题得到解2五年级春季高班14讲从反师2例 学生版仅有第⑴题⑴ABCDAD9cm，AB6cm，AE=4cm，FC=5cm，则阴影部分的面积是DE ⑵ABCDAD9cm，AB6cm，△ADEDEBF及△CDF的面积DE [几何中的考虑【解析三角形ABCD的面积为9×6=54平方厘米，△ADE的面积为9×4÷2=18平方厘米、△CDF的6×5÷2=15平方厘米，△BEF2×4÷2=4DEF的面积54-18-15-4=17平方厘米.⑵长方形ABCD的面积为9×6=54平方厘米，△ADE、四边形DEBF及△CDF的面积相等，所以×2÷6=6厘米，所以BE=6－4=2厘米，BF=9－6=3厘米，所以△BEF的面积为2×3÷2=3平方厘米，所以阴影部分面积为18－3=15平方厘米．例 如图，已知正方形的边长为10厘米，则阴影部分的面积 平方厘米.(圆周率取3.143五年级春季提高班第14讲 情况考虑教师3如下图，543厘米的长方形则阴影的面积 平方厘米.(圆周率取3.14如图所示，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形，则阴影的面积为 平方厘米.(圆周率取3.14)【解析】⑴阴影部分的面积为因此阴影部分的面

何中的考虑]★★总面积减空白，空白部分的面积可以合成一个圆形，积为1023.145221.5 虑，用整空白13.1452434

(平方厘⑶所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积.扇形的面积6120π102628(平方厘米)，阴影部分的面积1040628412计数中的------------------------------------------------------ -----------------------------------学生版仅有第⑴⑵小题-⑴下图中的4个点可以组

个三角形⑵下为2×3的点阵，取不同的三个点可能组合一个三角形，问总共可以组成 个三4五年级春季高班14讲从反师4⑶下图为4×4的点阵取不同的三个点可能组合一个三角形问总共可以组 个三角形[计数中的考虑 法2:考虑.C3C3 C38C32C34C3560328 练一

如下图，在半圆弧及其直径上共有 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形[计数中的考虑 C3C335431 5五年级春季提高班第14讲 情况考虑教师5例 ------------------------------------------------------

-----------------------------------学生版仅有第⑴⑵小题-⑴所有的两位数中，与76相加不产生进位的数 个，至少产生一次进位的数⑵所有三位数中，与876相加至少产生一次进位的数 个，456相加至少产生一次进位的数有多少个456相加产生的进位次数少于三次的数有456相加至少产生一次进位且不出现数字6的数有多少个

_个[计数中的考虑【解析】⑴法1:枚举:不产生进位的数有10，11，12，13，20，21，22，23共8个，至少产生一次进位包括个

，十位进和两位都进位.个位进位:个位可选择4-9，十位只1，共6×1=6种可能;十位个位可选择0-3，十位可选择3-9，共4×7=28种可能;两位都进位:个位可选4-9，十位可选2-96×8=48种可因此共6+28+48=82法2:不产生进位，则十位有1，2两种选择;个位有0，1，2，3四种选择，共2种选择.考虑至少产生一次进位的数，有90-8=82种可能⑵不产生进位

1×3×4=12个，至少产生一次进位的数有

12=888⑶与456相加位在个位、十位、百位都有可能，所以采用从所有三位数中减去与456相加不产生进位的数的方法更来得方便，所有的三位数一共有999-99=900个，其中与456相加进位的，它的百可能取1、2、3、4、5共5种可能可以取0、1、2、3、45可能，个数可以取0、1、2、3

4种可根原理，一共有554100个数，所以与456相加产生进位的数一共有900-⑷所有三位数

456相加在个位、十位999-99=900其中与456进位三次，个位可4、5、67、8、96能，十位可取4、56、7、8、9共6种可能，百位可取5、6、7、8、95种可据乘法原理，一共有665180于三次进位的数有900180720⑸所有三位数中与456相加产进位的数共有800个，三位数含有数字6456一定进位，三位数中含有数字6的数有900899252个，与456相加至少次进位且不出现数

6800252548-练------------------------------------------------------ -----------------------------------练所有的三位数中， 个数中至少存在一个6.[计数中的考虑【解析】正面考虑:可能个位有6，十位有6，百位有6，也可能其中2位有

，还可位都是考虑的种类很多.考虑:不存在6的三位数有8×9×9=648个.至少存在一个6的三位数有900-648=252个.6五年级春季高班14讲从反师6最值中的考例 有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？[最值中的考虑如果有10个或10个以上奇数，它们的和至少是 DF

[几何中的考虑46442262 如下图，边长为4的正方形中放入一个半圆，则阴影部分的面积 .(圆周率取3.14[几何中的考虑 27五年级春季提高班第14讲 情况考虑教师7如下图，直角三角形的三条边上有6个点，6个点为顶可以画出多少个三角形[计数中的考虑 【解析】考虑:C3C3201 所有三位数中，与789相加至少产生一次进位的 多少个[计数中的考虑【解析】考虑:所有的900个三位数中减去不产生进位的数.900-从A，B，C，D，E这五种不同的书中选出两本书，A，B至少一本被选中的情况 种[计数中的考虑 【解析】考虑:C2C27 从1～9九个数字中取出三个用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三 之和2664，则这三个数字的和 【解析】设这三个数字分别为

、b、c.由于每个数字

都分别有两次作百位、十位、个位，所不同的三位数

222×(a＋b＋c)=2664，推知2、4、6、8、10、12这六个数依次写在一个立方体的正面、背面两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，如图所示，最左边的正方形上的数是12则最右边的正方形上的数是.222?【解析】最右边的正方形是在

2的对面也就是背面，一枚质量均匀的硬币，连续抛9次全是正面向上，则第10次正面向上的可能性 【解析】28五年级春季高班14讲从反师8【解析】、 2、求1920的因数个数3、两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48，求这两个数9五年级春季提高班第14讲 情况考虑教师91合因倍质合1合因倍质合[公因数与公倍数

本讲巩固本讲巩固2、本讲巩固4、100以内有几个质数？分别是哪些？【解析】 个 .两个质数相加和等于63，这两个质数分别是多少？【解析】必定有唯一的偶质数2，所以另一个质数是336和240的最大公因数和最小公倍数分别是多少？【解析】短除法.最大公因48，最小公倍已知两个数的最大公因数是7，最小公倍数是28，求这两个数的乘积【解析728=196 有多少个因数，这些因数的和是多少？，1+2=8681高15综合师1开开 素数定理素数定理描述素数的大致分布情况.一个个地看，素数在正整 中的出现没有什么规律.可总体地看素数的个数有规可循.xπ(x)x的素数个数.π(x)的增长以下是第一个这样的估计:π(x)≈x/lnx，其lnxx的自然对数.上式的意思是当x趋近∞，π(x)x/lnx1(注:该结果为高斯所发现).但这不表x增大而接近.1/2)/15)而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号.

x趋近其Li(xdt/lnx2,x1901年瑞典数学家HelgevonKoch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的:π(x)=Li(xO(x^