2022年湖南省长沙市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2022年湖南省长沙市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

2.A.f(1)－f(0)

B.2[f(1)－f(0)]

C.2[f(2)－f(0)]

D.

3.

4.设函数f(x)满足f'(sin2x=cos2x，且f(0)=0，则f(x)=（）A.

B.

C.

D.

5.如图所示两楔形块A、B自重不计，二者接触面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直线的两个力的作用，则()。

A.A平衡，B不平衡B.A不平衡，B平衡C.A、B均不平衡D.A、B均平衡

6.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

7.

8.

9.钢筋混凝土轴心受拉构件正截面承载力计算时，用以考虑纵向弯曲弯曲影响的系数是()。

A.偏心距增大系数B.可靠度调整系数C.结构重要性系数D.稳定系数

10.微分方程y"-y=ex的一个特解应具有的形式为(下列各式中α、b为常数)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

11.

12.

13.

14.设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则必定存在一点ξ∈(a，b)使得（）A.f(ξ)>0B.f(ξ)<0C.f(ξ)=0D.f(ξ)=0

15.

16.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

17.

18.

19.微分方程y"-y'=0的通解为()。A.

B.

C.

D.

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.若∫x0f(t)dt=2e3x-2，则f(x)=________。

32.

33.

34.

35.

36.过坐标原点且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程为_________.

37.设f(x)=esinx，则=________。

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

43.44.

45.46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．47.

48.求曲线在点(1，3)处的切线方程．49.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．50.证明：

51.

52.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则53.求微分方程的通解．54.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

55.

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．58.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

59.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．60.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.计算，其中D为曲线y=x，y=1，x=0围成的平面区域．

65.

66.

67.求曲线y=x2、直线y=2-x与x轴所围成的平面图形的面积A及该图形绕y轴旋转所得旋转体的体积Vy。

68.69.计算

70.

五、高等数学(0题)71.设生产某产品利润L(x)=5000+x一0．0001x2百元[单位：件]，问生产多少件时利润最大，最大利润是多少?

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D

2.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛顿－莱布尼茨公式．

可知应选D．

3.D解析：

4.D

5.C

6.D特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。

7.C

8.C解析：

9.D

10.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由项f1(x)=ex，α=1是特征单根，故应设定y*=αxex，因此选B。

11.D

12.C

13.B

14.D

15.B

16.A由于定积分

存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选A．

17.A

18.A

19.B本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。微分方程为y"-y'=0特征方程为r2-r=0特征根为r1=1，r2=0方程的通解为y=C1ex+c2可知应选B。

20.C

21.1/2

22.

23.

24.e2

25.2/52/5解析：

26.

27.

解析：

28.

29.00解析：

30.

31.6e3x

32.0

33.0

34.35.

36.3x-7y+5z=0本题考查了平面方程的知识点。已知所求平面与3x-7y+5z-12=0平行,则其法向量为(3,-7,5),故所求方程为3(x-0)+(-7)(y-0)+5(z-0)=0,即3x-7y+5z=0.37.由f(x)=esinx，则f"(x)=cosxesinx。再根据导数定义有=cosπesinπ=-1。

38.4x3y

39.

解析：

40.

41.

42.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

43.

44.

则

45.

46.

47.由一阶线性微分方程通解公式有

48.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

49.

50.

51.52.由等价无穷小量的定义可知

53.

54.

55.

56.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

57.函数的定义域为

注意

58.

59.由二重积分物理意义知

60.

列表：

说明

61.

62.

63.

64.本题考查的知识点为选择积分次序；计算二重积分．

由于不能利用初等函数表示出来，因此应该将二重积分化为先对x积分后对y积分的二此积分．

65.

66.

67.

68.

69.本题考查的知识点为不定积分的运算．

需指出，由于不是标准公式的形式，可以利用凑微分法求解．

70.

71.L(x)=5000+x一0．0001x2L"(x)=1—0．0002x=0：x=5000；L""(x)=一0．0002<0∴x=