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第八节函数的连续性与间断点第一章（ContinuityandDiscontinuityofFunction）三、函数的间断点二、函数的连续性一、问题的提出四、小结与思考题1/18/20231一、问题的提出（Introduction）0T(时间)温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性1/18/20232二、函数的连续性（ContinuityofFunction）1.函数的增量1/18/20233在的某邻域内有定义,则称函数设函数且定义21/18/202353.单侧连续(One-sidedContinuity)左连续(LeftContinuity)

:当时,有右连续(RightContinuity):当时,有定理与单侧极限相类似！1/18/202364.连续函数(ContinuousFunction)若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.如果此区间包含端点，那么（1）函数在左端点连续是指在左端点右连续，（2）函数在右端点连续是指在右端点左连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．在闭区间上的连续函数的集合记作1/18/20237在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.例1证明函数1/18/20239例2讨论函数在处的连续性．解由于即左右极限不相等，所以该函数在但是，因为点不连续．，所以函数在处右连续．1/18/202310三、函数的间断点（DiscontinuityofFunction）定义3在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则这样的点下列情形之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;1/18/202311为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:1/18/202313显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.1/18/202314例3当取何值时，函数解因为要使，则需要．故当且仅当时，函数在点连续．在处连续．1/18/202315课后练习习题1-8

2（偶数题）56思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,1/18/2023172.讨论函数在处的连续性。解：右连续但不左连续,故函数在点不连续。1/18/202318

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