高等数学 第二章 极限与连续 2.8 函数的连续性课件

高等数学—第二章极限与连续第八节函数的连续性五、在闭区间上连续函数的性质一、函数改变量二、连续函数的概念三、函数的间断点四、连续函数的运算法则六、利用函数连续性求函数极限一、函数改变量定义2.11变量t由初值改变到终值则称为变量t的改变量。等价定义：设函数

y=f(x)在有定义，若自变量x从改变到则函数

y的改变量为函数的增量例1设正方形边长为x，求边长改变量为Δx时，面积的增量。解：设正方形的面积：当边长变为x+Δx时，面积为：则面积的改变量为：注意：函数的改变量可以为正，也可以为负。二、连续函数的概念定义2.12设函数y=f(x)在有定义。若当x在处取得该变量时，有则称函数f(x)在点处连续。否则，间断。例2证明：若函数

f(x)在点处连续，则令则当时，即，这样，就可以得到连续函数的等价定义。若在区间上连续，或称它是该区间上的连续函数.定义2.14注意：若f

(x)在处左连续；则称

f

(x)在若处右连续。则称

f

(x)在很显然，在内连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.上每一点都连续，则称例3

证明函数在内连续.证：即这说明在内连续.同理可证：函数在内连续.三、函数的间断点在在(1)函数(2)函数不存在；(3)函数存在，但处不连续，即间断：设在点处不满足连续的条件，即满足这样的点下列三个条件之一，称函数

f(x)在虽有定义，但有定义,且称为函数

f

(x)

的间断点。在处无定义；定义2.15间断点的分类：第一类间断点：及均存在，若称若称第二类间断点：及中至少一个不存在，称若其中有一个为振荡无极限，若其中有一个为为可去间断点。为跳跃间断点。为无穷间断点。为振荡间断点。称为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如，显然，为其可去间断点。(4)(5)为其跳跃间断点。四、连续函数的运算法则定理2.13注意：可推广到有限次四则运算的情况。推论：多项式函数在连续。分式函数在使得分母不为零的点连续(即在定义区间连续)。基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数仍连续一切初等函数在定义区间内连续例如，的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为结论连续函数的反函数仍连续分段函数的间断点只可能出现在分段点上。六、利用函数的连续性求极限例5求解：因函数在

x=0处连续，则原式=(连续，可直接代入)例8

求解：原式说明：若则有五、闭区间上连续函数的性质定理2.14闭区间上的连续函数必有界。(连续必有界；有界不一定连续)定理2.15(最大值与最小值定理)在闭区间上连续的函数，在该区间上一定有最大值注意：若函数在开区间上连续,则结论不一定成立。或在闭区间内有间断点，和最小值。定理2.16(介值定理)注意：ξ点不唯一。例9利用介值定理证明方程在区间内各有一个根。解：设则f

(x)

在区间上满足零点定理，使得即，是方程的三个根。又因三次方程最多有三个根，因此恰为三个根。内容小结左连续右连续在点连续的等价形式第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在2.间断点的类型基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数仍连续一切初等函数在定义区间内连续连续函数的反函数仍连续3.4