高中立体几何模拟试题附答案

...wd......wd......wd...高中立体几何模拟题一．选择题〔共9小题〕1．在空间直角坐标系中，点P〔x，y，z〕，以下表达中正确的个数是〔〕①点P关于x轴对称点的坐标是P1〔x，﹣y，z〕；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2〔x，﹣y，﹣z〕；③点P关于y轴对称点的坐标是P3〔x，﹣y，z〕；④点P关于原点对称的点的坐标是P4〔﹣x，﹣y，﹣z〕．A．3 B．2 C．1 D．02．空间四边形ABCD中，假设向量=〔﹣3，5，2〕，=〔﹣7，﹣1，﹣4〕点E，F分别为线段BC，AD的中点，那么的坐标为〔〕A．〔2，3，3〕 B．〔﹣2，﹣3，﹣3〕 C．〔5，﹣2，1〕 D．〔﹣5，2，﹣1〕3．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，假设α∥β，那么k=〔〕A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．44．=〔3，﹣2，﹣3〕，=〔﹣1，x﹣1，1〕，且与的夹角为钝角，那么x的取值范围是〔〕A．〔﹣2，+∞〕 B．〔﹣2，〕∪〔，+∞〕 C．〔﹣∞，﹣2〕 D．〔，+∞〕5．假设=〔1，λ，2〕，=〔2，﹣1，1〕，与的夹角为60°，那么λ的值为〔〕A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．16．设平面α内两个向量的坐标分别为〔1，2，1〕、〔﹣1，1，2〕，那么以下向量中是平面的法向量的是〔〕A．〔﹣1，﹣2，5〕 B．〔﹣1，1，﹣1〕 C．〔1，1，1〕 D．〔1，﹣1，﹣1〕7．假设=〔1，﹣2，2〕是平面α的一个法向量，那么以下向量能作为平面α法向量的是〔〕A．〔1，﹣2，0〕 B．〔0，﹣2，2〕 C．〔2，﹣4，4〕 D．〔2，4，4〕8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为〔〕A． B． C． D．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，那么直线DE与平面BB1C1C所成的角为〔〕A． B． C． D．二．填空题〔共3小题〕10．设平面α的一个法向量为=〔1，2，﹣2〕，平面β的一个法向量为=〔﹣2，﹣4，k〕，假设α∥β，那么k=．11．在空间直角坐标系中，点A〔1，0，2〕，B〔1，﹣3，1〕，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，那么M的坐标是．12．如以下列图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，那么直线EF和BC1的夹角是．三．解答题〔共18小题〕13．如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．〔Ⅰ〕求证：EG∥平面ABF；〔Ⅱ〕求三棱锥B﹣AEG的体积；〔Ⅲ〕试判断平面BAE与平面DCE是否垂直假设垂直，请证明；假设不垂直，请说明理由．14．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．〔1〕求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；〔2〕求证：A1C∥平面AB1D．15．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．〔Ⅰ〕证明：平面ADB⊥平面BDC；〔Ⅱ〕设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的外表积．16．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．〔1〕证明：SC⊥BC；〔2〕求三棱锥的体积VS﹣ABC．17．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：〔1〕PA∥平面BDE；〔2〕BD⊥平面PAC．18．如图，在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD〔1〕证明：AB⊥平面VAD；〔2〕求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．〔Ⅰ〕证明：直线CE∥平面PAB；〔Ⅱ〕求三棱锥E﹣PAC的体积．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．〔Ⅰ〕求证：FG∥平面PBD；〔Ⅱ〕求证：BD⊥FG．21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，AB=2，P为线段AB上的动点．〔I〕求证：CA1⊥C1P；〔II〕假设四面体P﹣AB1C1的体积为，求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．22．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．〔1〕证明EF为BD1与CC1的公垂线；〔2〕求点D1到面BDE的距离．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．〔Ⅰ〕求证：PB⊥DM；〔Ⅱ〕求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．24．在如以下列图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．〔1〕求证：AB∥平面DEG；〔2〕求证：BD⊥EG；〔3〕求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．〔Ⅰ〕求证：AM∥面SCD；〔Ⅱ〕求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；〔Ⅲ〕设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．26．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．〔1〕证明：AB⊥A1C；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．〔1〕假设PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；〔2〕点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；〔3〕在〔2〕的条件下，假设平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．28．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．〔I〕求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；〔II〕求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．29．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．〔Ⅰ〕求证：BD⊥PC；〔Ⅱ〕求证：MN∥平面PDC；〔Ⅲ〕求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．30．如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．〔Ⅰ〕求证：EF∥平面PBO；〔Ⅱ〕求二面角A﹣PF﹣E的正切值．2017年03月25日1879804507的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题〕1．〔2016春•孝感期末〕在空间直角坐标系中，点P〔x，y，z〕，以下表达中正确的个数是〔〕①点P关于x轴对称点的坐标是P1〔x，﹣y，z〕；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2〔x，﹣y，﹣z〕；③点P关于y轴对称点的坐标是P3〔x，﹣y，z〕；④点P关于原点对称的点的坐标是P4〔﹣x，﹣y，﹣z〕．A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：P关于x轴的对称点为P1〔x，﹣y，﹣z〕；关于yOz平面的对称点为P2〔﹣x，y，z〕；关于y轴的对称点为P3〔﹣x，y，﹣z〕；点P关于原点对称的点的坐标是P4〔﹣x，﹣y，﹣z〕．故①②③错误．应选C．2．〔2015秋•石家庄校级期末〕空间四边形ABCD中，假设向量=〔﹣3，5，2〕，=〔﹣7，﹣1，﹣4〕点E，F分别为线段BC，AD的中点，那么的坐标为〔〕A．〔2，3，3〕 B．〔﹣2，﹣3，﹣3〕 C．〔5，﹣2，1〕 D．〔﹣5，2，﹣1〕【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴=，，=．∴=﹣==[〔3，﹣5，﹣2〕+〔﹣7，﹣1，﹣4〕]==〔﹣2，﹣3，﹣3〕．应选：B．3．〔2015•邹城市校级模拟〕设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，假设α∥β，那么k=〔〕A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4【解答】解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，∵α∥β，由题意可得，∴k=4．应选：D．4．〔2014秋•越城区校级期末〕=〔3，﹣2，﹣3〕，=〔﹣1，x﹣1，1〕，且与的夹角为钝角，那么x的取值范围是〔〕A．〔﹣2，+∞〕 B．〔﹣2，〕∪〔，+∞〕 C．〔﹣∞，﹣2〕 D．〔，+∞〕【解答】解：∵与的夹角为钝角，∴cos＜，＞＜0．且与不共线∴•＜0．且〔3，﹣2，﹣3〕≠λ〔﹣1，x﹣1，1〕∴﹣3﹣2〔x﹣1〕﹣3＜0．且x≠∴x的取值范围是〔﹣2，〕∪〔，+∞〕．应选B．5．〔2014秋•从化市校级期末〕假设=〔1，λ，2〕，=〔2，﹣1，1〕，与的夹角为60°，那么λ的值为〔〕A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1【解答】解：∵，，，cos60°=．∴，化为λ2+16λ﹣17=0，解得λ=﹣17或1．应选B．6．〔2015春•济南校级期中〕设平面α内两个向量的坐标分别为〔1，2，1〕、〔﹣1，1，2〕，那么以下向量中是平面的法向量的是〔〕A．〔﹣1，﹣2，5〕 B．〔﹣1，1，﹣1〕 C．〔1，1，1〕 D．〔1，﹣1，﹣1〕【解答】解：∵〔﹣1，1，﹣1〕•〔1，2，1〕=﹣1+2﹣1=0，〔﹣1，1，﹣1〕•〔﹣1，1，2〕=1+1﹣2=0，∴向量〔﹣1，1﹣1〕是此平面的法向量．应选B．7．〔2016秋•兴庆区校级期末〕假设=〔1，﹣2，2〕是平面α的一个法向量，那么以下向量能作为平面α法向量的是〔〕A．〔1，﹣2，0〕 B．〔0，﹣2，2〕 C．〔2，﹣4，4〕 D．〔2，4，4〕【解答】解：∵〔2，﹣4，4〕=2〔1，﹣2，2〕，∴向量〔2，﹣4，4〕与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量．应选C．8．〔2015•株洲一模〕如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为〔〕A． B． C． D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建设空间直角坐标系〔图略〕，那么A〔2，0，0〕，B〔2，2，0〕，C〔0，2，0〕，C1〔0，2，1〕∴=〔﹣2，0，1〕，=〔﹣2，2，0〕，且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．9．〔2015•广西模拟〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，那么直线DE与平面BB1C1C所成的角为〔〕A． B． C． D．【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以∠FBG=∠BCA=．应选A．二．填空题〔共3小题〕10．〔2016秋•碑林区校级期末〕设平面α的一个法向量为=〔1，2，﹣2〕，平面β的一个法向量为=〔﹣2，﹣4，k〕，假设α∥β，那么k=4．【解答】解：∵α∥β，∴∥，∴存在实数λ使得．∴，解得k=4．故答案为：4．11．〔2009•安徽〕在空间直角坐标系中，点A〔1，0，2〕，B〔1，﹣3，1〕，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，那么M的坐标是〔0，﹣1，0〕．【解答】解：设M〔0，y，0〕由12+y2+4=1+〔y+3〕2+1可得y=﹣1故M〔0，﹣1，0〕故答案为：〔0，﹣1，0〕．12．〔2016秋•临沂期末〕如以下列图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，那么直线EF和BC1的夹角是．【解答】解：如以下列图，建设空间直角坐标系．由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，那么E〔0，1，0〕，F〔0，0，1〕，C1〔2，0，2〕．∴=〔0，﹣1，1〕，=〔2，0，2〕．∴===．∴异面直线EF和BC1的夹角为．故答案为：．三．解答题〔共18小题〕13．〔2015•重庆校级模拟〕如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．〔Ⅰ〕求证：EG∥平面ABF；〔Ⅱ〕求三棱锥B﹣AEG的体积；〔Ⅲ〕试判断平面BAE与平面DCE是否垂直假设垂直，请证明；假设不垂直，请说明理由．【解答】〔I〕证明：取AB中点M，连FM，GM．∵G为对角线AC的中点，∴GM∥AD，且GM=AD，又∵FE∥AD，∴GM∥FE且GM=FE．∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．又∵EG⊄平面ABF，FM⊂平面ABF，∴EG∥平面ABF．…〔4分〕〔Ⅱ〕解：作EN⊥AD，垂足为N，由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E﹣ABG的高．∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，∴△AEF是正三角形．∴∠AEF=60°，由EF∥AD知∠EAD=60°，∴EN=AE∙sin60°=．∴三棱锥B﹣AEG的体积为．…〔8分〕〔Ⅲ〕解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE．∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AFE=60°，∴∠FAD=120°．又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，由余弦定理，得ED=．∴EA2+ED2=AD2，∴ED⊥AE．又∵ED∩CD=D，∴AE⊥平面DCE，又AE⊂面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE．…〔12分〕14．〔2014•南昌模拟〕如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．〔1〕求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；〔2〕求证：A1C∥平面AB1D．【解答】证明：〔1〕因为B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥B1B〔2分〕因为D为正△ABC中BC的中点，所以AD⊥BD〔2分〕又B1B∩BC=B，所以AD⊥平面B1BCC1〔4分〕又AD⊂平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1〔6分〕〔2〕连接A1B，交AB1于E，连DE〔7分〕因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点〔8分〕又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，所以DE∥A1C〔10分〕又DE⊂平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D〔12分〕15．〔2011•陕西〕如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．〔Ⅰ〕证明：平面ADB⊥平面BDC；〔Ⅱ〕设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的外表积．【解答】解：〔Ⅰ〕∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD．∴平面ADB⊥平面BDC〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，从而所以三棱锥D﹣ABC的外表积为：16．〔2016•徐汇区一模〕三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．〔1〕证明：SC⊥BC；〔2〕求三棱锥的体积VS﹣ABC．【解答】解：〔1〕∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC=A∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC〔2〕在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=，∴SA==2，∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，∴VS﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=．17．〔2016秋•咸阳期末〕如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：〔1〕PA∥平面BDE；〔2〕BD⊥平面PAC．【解答】证明〔1〕连接OE，在△CAP中，CO=OA，CE=EP，∴PA∥EO，又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．〔2〕∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PO又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC18．〔2014•嘉定区校级二模〕如图，在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD〔1〕证明：AB⊥平面VAD；〔2〕求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．【解答】证明：〔1〕平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面VAD〔2〕取VD中点E，连接AE，BE，∵△VAD是正三角形，∴∵AB⊥面VAD，AE，VD⊂平面VAD∴AB⊥VD，AB⊥AE∴AE⊥VD，AB⊥VD，AB∩AE=A，且AB，AE⊂平面ABE，DVD⊥平面ABE，∵BE⊂平面ABE，∴BE⊥VD，∴∠AEB即为所求的二面角的平面角．在RT△ABE中，，cos∠AEB=19．〔2012•河南模拟〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．〔Ⅰ〕证明：直线CE∥平面PAB；〔Ⅱ〕求三棱锥E﹣PAC的体积．【解答】解：〔1〕取AD中点F，连接EF、CF∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA∵EF⊈平面PAB，PA⊆平面PAB，∴EF∥平面PAB∵Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴AC==2又∵Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴AD=4，结合F为AD中点，得△ACF是等边三角形∴∠ACF=∠BAC=60°，可得CF∥AB∵CF⊈平面PAB，AB⊆平面PAB，∴CF∥平面PAB∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，∴平面CEF∥平面PAB∵CE⊆面CEF，∴CE∥平面PAB〔2〕∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线∴CD⊥平面PAC∵CD⊆平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC∴EH∥CDRt△ACD中，AC=2，AD=4，∠ACD=90°，所以CD==2∵E是CD中点，EH∥CD，∴EH=CD=∵PA⊥AC，∴SRt△PAC==2因此，三棱锥E﹣PAC的体积V=S△PAC×EH=20．〔2016春•哈尔滨校级月考〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．〔Ⅰ〕求证：FG∥平面PBD；〔Ⅱ〕求证：BD⊥FG．【解答】证明：〔Ⅰ〕连接PE，G、F为EC和PC的中点，∴FG∥PE，FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，∴FG∥平面PBD…〔6分〕〔Ⅱ〕∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，FG⊂平面PAC，∴BD⊥FG…〔14分〕21．〔2009•丹东二模〕如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，AB=2，P为线段AB上的动点．〔I〕求证：CA1⊥C1P；〔II〕假设四面体P﹣AB1C1的体积为，求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．【解答】〔I〕证明：连接AC1，∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，又∵AB⊥AC．∴AB⊥平面A1ACC1．又∵CA1⊂平面A1ACC1，∴AB⊥CA1．〔2分〕∵AC=AA1=1，∴四边形A1ACC1为正方形，∴AC1⊥CA1．∵AC1∩AB=A，∴CA1⊥平面AC1B．〔4分〕又C1P⊂平面AC1B，∴CA1⊥C1P．〔6分〕〔II〕解：∵AC⊥AB，AA1⊥AC，且C1A1⊥平面ABB1A，BB1⊥AB，由，知=，解得PA=1，P是AB的中点．〔8分〕连接A1P，那么PB1⊥A1P，∵C1A1⊥平面A1B1BA，∴PB1⊥C1A1，∴PB1⊥C1P，∴∠C1PA1是二面角的平面角，〔10分〕在直角三角形C1PA1中，，∴，即二面角的余弦值是22．〔2003•天津〕正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．〔1〕证明EF为BD1与CC1的公垂线；〔2〕求点D1到面BDE的距离．【解答】解：〔1〕取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．又ECCC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．〔Ⅱ〕解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由〔Ⅰ〕知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．那么．∵AA1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．23．〔2013•广州三模〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．〔Ⅰ〕求证：PB⊥DM；〔Ⅱ〕求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．【解答】〔此题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕解法1：∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM．…〔6分〕解法2：如图，以A为坐标原点建设空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，可得，A〔0，0，0〕，P〔0，0，2〕，B〔2，0，0〕，C〔2，1，0〕，，D〔0，2，0〕．因为，所以PB⊥DM．…〔6分〕〔Ⅱ〕解法1：取AD中点Q，连接BQ和NQ，那么BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，∴CD与平面ADMN所成的角为∠BQN．设BC=1，在Rt△BQN中，那么，，故．所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为．…〔13分〕解法2：因为．所以PB⊥AD，又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN，因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角．因为．所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为．…〔13分〕24．〔2014•烟台二模〕在如以下列图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．〔1〕求证：AB∥平面DEG；〔2〕求证：BD⊥EG；〔3〕求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．【解答】〔1〕证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC，∵BC=2AD，G为BC的中点，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG因为AB不在平面DEG中，DG在平面DEG内，∴AB∥平面DEG．〔2〕证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，∵AE⊥EB，∴EB、EF、EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建设空间直角坐标系，由得：A〔0，0，2〕，B〔2，0，0〕，C〔2，4，0〕，D〔0，2，2〕，F〔0，3，0〕，G〔2，2，0〕．∵，∴∴BD⊥EG．〔3〕解：由得是平面EFDA的法向量，设平面DCF的法向量为∵，∴，令z=1，得x=﹣1，y=2，即．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，那么，∴∴二面角C﹣DF﹣E的正弦值为．25．〔2015•漳州模拟〕如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．〔Ⅰ〕求证：AM∥面SCD；〔Ⅱ〕求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；〔Ⅲ〕设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．【解答】解：〔Ⅰ〕以点A为原点建设如以下列图的空间直角坐标系，那么A〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，D〔1，0，0，〕，S〔0，0，2〕，M〔0，1，1〕．那么，，．设平面SCD的法向量是，那么，即令z=1，那么x=2，y=﹣1．于是．∵，∴．又∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．〔Ⅱ〕易知平面SAB的法向量为．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，那么==，即．∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．〔Ⅲ〕设N〔x，2x﹣2，0〕，那么．∴===．当，即时，．26．〔2011•琼海一模〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．〔1〕证明：AB⊥A1C；〔2〕求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．【解答】解：〔1〕证明：在△ABC中，由正弦定理可求得∴AB⊥AC以A为原点，分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴，建设空间直角坐标系，如图那么A〔0，0，0〕B〔2，0，0〕即AB⊥A1C．〔2〕由〔1〕知设二面角A﹣A1C﹣B的平面角为α，=∴27．〔2012•日照二模〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．〔1〕假设PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；〔2〕点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；〔3〕在〔2〕的条件下，假设平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】〔1〕证明：连BD，∵四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，∵Q为AD中点，∴AD⊥BQ∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，AD⊂平面PAD∴平面PQB⊥平面PAD；〔2〕当t=时，使得PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，那么O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，那么AN=a，AC=a．∴PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN∴PA∥MN∴==即：PM=PC，t=；〔3〕由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，那么PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建设如以下列图的坐标系，那么各点坐标为A〔1，0，0〕，B〔0，，0〕〕，Q〔0，0，0〕，P〔0，0，〕设平面MQB的法向量为，可得，而PA∥MN，∴，∴y=0，x=∴取平面ABCD的法向量∴cos=∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．28．〔2015•玉山县校级模拟〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．〔I〕求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；〔II〕求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．〔Ⅱ〕由题意，CB=CB1