高中数学《指数函数》5 湘教必修1

指数与指数函数.一、整数指数幂的运算性质二、根式的概念

如果一个数的

n

次方等于

a(n>1

且

n∈N*),那么这个数叫做

a

的

n

次方根.即:若

xn=a,则

x

叫做

a

的

n

次方根,其中

n>1且

n∈N*.

式子

a

叫做根式,这里

n

叫做根指数,a

叫做被开方数.n(1)am·an=am+n(m,n∈Z);(2)am÷an=am-n(a0,m,n∈Z);(3)(am)n=amn(m,n∈Z);(4)(ab)n=anbn(n∈Z)..三、根式的性质5.负数没有偶次方根.6.零的任何次方根都是零.1.当

n

为奇数时,正数的

n

次方根是一个正数,负数的

n

次方根是一个负数,a

的

n

次方根用符号

a

表示.n2.当

n

为偶数时,

正数的

n

次方根有两个,

它们互为相反数,这时,正数的正的

n

次方根用符号

a

表示,负的

n

次方根用符号-

a表示.正负两个

n

次方根可以合写为

a(a>0).nnn3.(

a)n=a.n4.当

n

为奇数时,

an=a;n当

n

为偶数时,

an=|a|=na(a≥0),-a(a<0)..五、有理数指数幂的运算性质四、分数指数幂的意义注:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

函数

y=ax(a>0,且a1)叫做指数函数,

其中

x

是自变量,

函数的定义域是

R.六、指数函数a=

am,

a-=(a>0,m,n∈N*,

且

n>1).nmnnmnma1(1)ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q);(2)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);(3)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(4)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)..图象性质yox(0,1)y=1y=ax

(a>1)a>1yox(0,1)y=1

y=ax

(0<a<1)0<a<1(1)定义域:R(2)值域:(0,+∞)(3)过点(0,1),即x=0时,y=1.(4)在

R

上是增函数.(4)在

R

上是减函数.七、指数函数的图象和性质.课堂练习1.若函数y=ax+b-1

(a>0,a1)

图象经过第二、三、四象限,则一定有()A.0<a<1,b>0B.a>1,b>0C.0<a<1,b<0D.a>1,b<02.若

0<a<1,b<-1,则函数

y=ax+b

的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设

a=40.9,b=80.48,c=(

)-1.5,则()A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b124.若

0<a<b<1,则()(1-a)>(1-a)bB.(1+a)a>(1+b)bC.(1-a)b>(1-a)D.(1-a)a>(1-b)bb12bCADDC5.设

a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则()A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

.典型例题1.化简下列各式:

(1)(1-a);(a-1)3

14

(2)xy2·

xy-1·xy;34=-

a-1

.=xy.解:(1)原式=(1-a)(a-1)-43=-(a-1)(a-1)-

43=-(a-1)41(2)原式=[xy2(xy-1)

]

(xy)213121=(xy2x

y-

)

x

y

3121212121=(xy

)

x

y

2323312121=x

y

x

y

21212121(3)(1-a)[(a-1)-2(-a)].2121∴a-1<0.(3)由(-a)

知

-a≥0,21∴原式=(1-a)(1-a)-1(-a)41=(-a).41.2.已知2x+2-x=5,求下列各式的值:(1)4x+4-x;(2)8x+8-x.解:(1)4x+4-x=(2x+2-x)2-22x

·

2-x

(2)8x+8-x=(2x+2-x)3-32x·

2-x(2x+2-x)=25-2=23;=125-15=110.3.已知

2a

·

5b=2c

·

5d=10,求证:(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).证:

由已知

2a

·

5b=10=2

·

5,2c

·

5d=10=2

·

5,∴2a-1·

5b-1=1,2c-1·

5d-1=1.∴2(a-1)(d-1)·

5(b-1)(d-1)=1,2(c-1)(b-1)·

5(d-1)(b-1)=1.∴2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1).∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).∴2(a-1)(d-1)·

5(b-1)(d-1)=2(c-1)(b-1)·

5(d-1)(b-1).4.若关于

x

的方程

2a2x-2-7ax-1+3=0

有一个根是

x=2,求

a

的值并求方程其余的根.

a=时,方程的另一根为x=1-log23;a=3时,x=1-log32.12.5.已知

2x=a+(a>1),求

的值.a1x-

x2-1x2-1解:

以

x+

x2-1、x-

x2-1为根构造方程:t2-2xt+1=0,即:t2-(a+)t+

a·

=0,

a1a1a1∴t=a

或.∵

x+

x2-1>x-

x2-1

,a>1,x-

x2-1=.∴

x+

x2-1=

a

,a1∴

x2-1=(

a

-),12a1∴原式=

(a

-)12a1a1=(a-1).12解法二:将已知式整理得:(

a)2-2x

a+1=0或

(

)2-2x(

)+1=0.a1a1∵

a

>,a1∴

a=x+

x2-1

,=x-

x2-1

,a1以下同上.

.6.已知函数

f(x)=3x

且

f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x

的定义域为[0,1].(1)求

g(x)

的解析式;(2)求

g(x)

的单调区间,确定其增减性并用定义证明;(3)求

g(x)

的值域.∴f(a+2)=3a+2=18.解:(1)∵f(x)=3x

且

f-1(18)=a+2,∴3a=2.∴g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.即

g(x)=2x-4x.(2)令

t=2x,则函数

g(x)

由

y=t-t2及

t=2x

复合而得.由已知

x[0,1],则

t[1,2],∵t=2x

在

[0,1]

上单调递增,y=t-t2在

[1,2]上单调递减,

g(x)

在

[0,1]

上单调递减,证明如下:∴g(x)

的定义域区间

[0,1]

为函数的单调递减区间.

对于任意的

x1,x2[0,1],且x1<x2,g(x1)-g(x2)∵0≤x1<x2≤1,∴2x1-2x2<0

且

1-2x1-2x2<0.∴

g(x1)-g(x2)∴

g(x1)>g(x2).故函数

g(x)

在

[0,1]

上单调递减.=(2x1-4x1)-(2x2-4x2)=(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2)=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)>0..∴

x[0,1]

时有:解:(3)∵g(x)

在

[0,1]

上单调递减,g(1)≤g(x)≤g(0).∵g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0,∴

-2≤g(x)≤0

.故函数

g(x)

的值域为

[-2,0].6.已知函数

f(x)=3x

且

f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x

的定义域为[0,1].(1)求

g(x)

的解析式;(2)求

g(x)

的单调区间,确定其增减性并用定义证明;(3)求

g(x)

的值域..7.设

a>0,f(x)=