历年考研数学一真题及答案

Lx2y29,考研数学 1987-L考研数学 1987-L （经典珍藏版1987年 一、填空题(本题5小题315

已知三维向量空间的基底α1(1,1,0),α2(1,0,1),α3(0,1,1),则向量β(2,0,0)在此基 二、(本题满8

使等式

t

dt

成立答案填在题中横线上当x ylnx与两直ye1xy0所围成的

三、(本题满7

x0bxsinx

at面图形的面积 与两直线y1z2x1y2z1都平行且过原点的平面方程为

fg为连续可微函数ufx,xy),vgxxy),u,vx设矩阵A和 满足关系式AB=A2B,其 A 0,求矩阵0 四、(本题满8

于s,不依赖于设常数k

0则级

nkn求微分y6y9a2y1的通解,其中常数a五、选择题(本题4小题312小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项)f(x)f

(A)发 (C)条件收 (D)散性与k的取值有设A为n阶方阵，且A的行列式|A|a0,而A*是A设 (xa)

1则在xa

随矩阵，则|A*|f(x)的导数存在,且f(a) (B)f(x)

(A) (B)a得极大(C)f(x)取得极小值 (D)f(x)的

(C)本题满分10

sfx)为已知连续It

f(tx)dx,t0,s

求幂级数

n1的收敛域，并求其和函数xnx0则I依赖于s和

本题满分10t和

依赖于

、x,不依赖于

求曲面Ix(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy,其中是由曲f(xz

y x

y轴正向的夹角 于.本题满分10设函f(x)在闭区间[0,1上可微,对于[0,1上的每一个xf(x)的值都在开区间(0,1)f(x)1,证明在(0,1)内有且仅有一个xfx)x.本题8问a,b为何值时,现线性方程x1x2x3x4x22x32x4x2(a3)x32x43x12x2x3ax4有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解十、填空题(本题3小题,每小26分.把答案填在题中横线上设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为 ;而事件A至多发生 第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率 .已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,从第一个箱子中取出的球是白球的概率 已知连续 量X的概率密度函数为f(x)

1ex22x1,则X的数学期望 ,X的方差 设 f(x)

0x1,f(y) e

y0

求Z2XY的概率密度函数 其它

y1988年 (1)求幂级数(x3)的收

敛 设4阶矩阵A[α,γ2,γ3,γ4],B[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A4,B1,则行列式AB=

f(x)ex2,f[(x1x且x)0,求(x)及其定设为曲x2y2z21的外侧算曲面积IÒx3dydzy3dzdx

三、选择题(本题5小题,每小315fx)可导f(x)1,则x0时,f(x)在x 微分dy二、填空题(本题4小题,每小312若f(t)limt(11)2tx,则f(t)=

(A)与x等价的无穷 (B)与同阶的无穷(C)比x低阶的无穷 (D)比 f(x

连续且

x31f(t)dt 0

高阶的无穷f(7)

yfx)是方程y2y4y0f(x00,f(x00则函fx)在点x02f(x)

1x0,则 叶(Fourier)级数在x1处0x

(A)取得极大 (B)得极小 (D)某

k1k2,L,ks,k1α1k2α2Lksαs, :x2y2z2R2z0,:x2y2z2R2x0,y0,z0,

α,α,L,

中存在一个向量不能用其余向量线 xdv4

表ydv4

(D)α,α,L,

中存在一个向量都不能用其余向量 zdv4 xyzdv4

性表 nax1nx1处收敛,则此级数在n

四、(本题满6x2

设uyfxxg(y其中f、g具有二阶连续导数 (A)条件收 (B)绝

求收

yxy(C)发 (D)收性不能n维向量组α1α2,L,αs(3sn)线性无关的充要条

五、(本题满8设函yyx)满足微分方y3y2y2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线yx2x1在该点处的切线重合,求函yy(x).本题9本题9设位于(0,1)的质A对质点M的引力大小k(k0为常数rA质点与M之间的距离),质点Mr线y 2xx2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.

设函fx)在区间ab上连续,且在(abf(x0证明:在(ab内存在唯一的,使曲yfx)与两yf(),xa所围平面图形面积S是曲yfx)与两直yf(),xb所围平面图形面积S23十、填空题(本题3小题,每小26本题6

0

把答案填在题中横线上(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等已知APBP,其中B

0,P

0求A

已知A至少出现一次的概率等于19则事件A在一次试0

中出现的概率 本题满分8分 (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之

0

小于6”的概率为 已知矩阵A 1与B 0相似 求x与

0 0

(3)设 量X服从均值为10,均方差为0.02的态分布求一个满足P1APB的可逆阵(x)

x 2 e2

du,(2.5) 则X落在区间(9.95,10.05)内的概率 设 量X的概率密度函数为量Y13X的概率密度函fY

(1x2

,1989年 把答案填在题中横线上已知f(3)2,则limf(3h)f(3)= 1 1

所选项前的字母填在题后的括号内当x0yxsinx (B)有(C)既有水平渐近线,又有铅直fx)f(x)

f(xx20f(t)dt,

既无水平渐近线,又无铅直已知曲z4x2y2上点PL为下半圆y1x2(x2y2)ds L

面2x2yz10则点的(1,1, (B)(1,1,2)向量场

div

在点P(1,1, 处的散

(C)(1,1, (D)(1,1,divu

设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程解是任意常数,则该非齐次方程的通解 设矩阵A 0,I 0 则

cycy0 0 (A2I)1

1 2 c1y1c2y2(c1c2)c1y1c2y2(1c1c2)二、选择题(本题5小题,每小315

c1y1c2y2(1c1c2) f(x)x2,0x S(x)b

bsinnxx,n n

(3(xz)dv,其中是由x2x21x2 20f(xsinnxdxn1,2,3,L,S(2)

z 与z

所围成的区(A)2(C)4

(B)4(D)2

四、(本题满6设A是n阶矩阵,且A的行列必有一列元素全为两列元素对应成比

A0,则A

将函f(x)arctan1x展为x的幂级1五、(本题满7必有一列向量是其余列向量的线性组 任一列向量是其余列向量的线性组

f(xsinx0(xtf(t)dtf为连续函数fx本题7x

证明lnx

x

1cos2xdx在区间(0,)内有,g(u,zf(2xy)gx,xy),其中函数ft)二阶可导具有连续二阶偏导,g(u,设曲线积分xy2dxy(x)dy与路径无关,其中c具有连续的导数,且00

仅有两个不同实根本题6问为何值时,线性方程(1,1)xy2dx

的值

x1x34x1x22x36x1x24x32本题满分8分）

P(AUB) 率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中 假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值

量在(1,6)上服从均匀分布,则方x2x10有实根的概率 (2

为A的伴随矩阵A*的特征

本题9设半径为R的球面的球心在定球x2y2z2a2a0)上,问当R为何值时,球面在定球面(1A的概PA)0.5,随机事件B率PB)06及条件概率PB|A)0.8,则和事AUB的概

量X与Y独立,且X服从均值为1标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求量Z2XY3的概率密度函数1990年

二、选择题(本题5小题,每小315把答案填在题中横线上

xt

efx)F(x)eexf(ex)f

f

则F(x)过点M(1,21)且与直线y3t4垂直的平面方程 zt设a为非零常数,则lim(xa)x= xx

exf(ex)fexf(ex)fexf(ex)f已知fx

具有任意阶导数f(x)f(x)]2设函数f(x) 0

x x

n![ff[f[f(x)] (4)dxey2dy的值 .(C)[f(x)] 知向量组(D)n![fα1(1,2,3,4),α2(2,3,4,5),α3(3,4,5,6),α4(4,5,6,

(3)设a为常数,则级数

sin(na) 1 则该向量组的秩

(A)绝对收 (B)件收(C)发 (D)收性与a的取值有已知fx)x0

求1ln(10(2设zf(2xy,ysinx),fuv)具有连续的二阶导数2zf(0)0,

f

则在点x0

f(x

x01cos(A)不可 f(0)(C)取得极大 (D)取极小已知β1β2是非齐次线性方程组AXb的两个不同k2为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是kαk(αα)β11 kαk(αα)β11 kαk(ββ)β11

四、(本题满6求幂级数(2n1)xn的收敛域,并求其和函数IyzdzdxS其中S是球面x2y2z24外侧在z0的部分

k1α1k2(β1β2)

β1β2

本题7)区间(ab内可导fa)f(b).证明在(ab)内至少存在点,f(本题6

质点P沿着AB为直径圆周A(12)运动到点B(34的过程中受变r作用(见图r 设四阶

0 0

大小等于点P与原点O之间的离,其方向垂直于线段OP且与B ,C 1

轴正向的夹角小.变力2 且矩阵A满足关系其中E为四阶单位矩阵C1表示C的逆矩阵C表示C的转

质点P所作的功已知 本题8求一个正交变换化二次型

f(x)

1e2

,xfx24x24x24xx4xx8xx 1 1 2本题8

则X的概率分布函数F(x) 设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.40.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)= 已知离散型 量X服从参数为2的泊k(Poisson)分布,即P{Xk}2e,k0,1,2,L,则 kZ3X2的数学期望E(Z) 设二维随 量(X,Y)在区域D:0x1,yx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及 Z2X1的方差D(Z1991年

0 0(5)设4阶方阵A ,则A的逆 1 一、填空题(本题5小题,每小315设x1t2,则d2y ycos 由方程xyz x2y2z2 2所确定的函zz(x,y)在点(1,0,1)处的全微分dz 已知两条直线的方程是l:x1y2z3;l:x2y1z则过l且平行于l 平面方程

A1 二、选择题(本题5小题,每小3152y121e(A)没有渐近 (B)仅水平渐 (D)既 (2)若连续函

fx)满足关系

f(x)

2f(t)dtln2已知当x0时,(1ax)31与cosx1是等价无穷小,则常数a= 2

fx)

(A)exln (B)e2xln(C)exln(D)e2xln n 已知级数(1)n1a2,a 5, n

侧的法向量,求函数u

6x28y2z

向导 设D是平xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点

(x2y2z)dv其中是由曲y2z绕z轴旋2 x2三角形区域,D1是D在第一象限的部分(xycosxsiny)dxdyD(A)2cosxsin(C)4(xycosxsin

(B)2

四、(本题满6O(00)A(0)的曲线yasinxa0)中,求一条曲线L使沿该曲线O从到A的积分设n阶方阵ABC满足关系式ABCE,其中E是

(1y3)dx(2xL

的值最阶单位阵,则必(A)ACB (B)CBA

五、(本题满8将函f(x2x(1x1展开成2周(C)BAC (D)BCA

叶级数,并由此求级

1的和n1求lim(cos x)2

本题7nr2x23y2z26P(1,1,1)处的指向n

fx)[0,1]0,1)1 fxdxf(0)证明在(0,1)内存在一点cf(c)13

是法线x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线x本题8 α110,2,3α2(1,13,5α3(11a2,1α412,4,a β(1,1,b3,a、b为何值时β不能表示成α1α2α3α4的线性合ab为何值时,β有α1α2α3α4的唯一的线性表示式?本题6设A是n阶正定阵E是n阶单位阵,证明AE的行列式1.本题8

平行若 量X服从均值为2方差为2的正态分布且P{2X4}0.3,则P{X0} 随机地向半圆0y 2axx2(a为正常数)内掷则原点和该点的连线x轴的夹角小的概率4 设二维 量(X,Y)的密度函数在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,

f(x,y)

2e(x2y0

x0,y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数( 求 量ZX2Y的分布函数dy dxuln(x2y2z2)在点M(1,22)处的梯graduM 设f(x) 1

x0,则其以2为周期的0x里叶级数在点x处收敛 微分方程

yytanxcos

的通解为y

a a ab设

A2 2

2n La a abn n nnai0,bi0,(i1,2,L, 1992年 一、填空题(本题5小题,每小315

r(A) 每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把)x2 yyx)由方程exycos(xy0确定

当x1时,函

x

ex1的极等于 (B)等于

1 0要使ξ0ξ1都是线性方程组AX0的解 (C)为 (D) 在但不为级数(1)n(1cosa)(常数a

只要系数矩阵A

1(A)发 (B)件收(C)绝对收 (D)在曲xt,yt2zt3的所有切线中,与平面x2yz4平行

0 20 0 1(A)只有1 (B)2

exsinx. .x011(C)至少有3 (D)不在

zf(exsinyx2y2f具有二阶连续偏导数求求f(x)3x3x2xf(n(0)存在的最高阶数n

1(3)f(x)(3)

x0,求3f(x

e

x 四、(本题满6求微分y2y3ye3x的通解五、(本题满8

本题7设向量组α1α2α3线性相关,向量组α2α3α4线性无问α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论(x3az2dydzy3ax2dzdx(z3ay2dxdy,为上半

α能否由αα

线性表出?证明你的结论球面z

a2a2x2

本题7

本题7设f(x)0,f0

证明对任何x10x20,

向量依f(x1x2)f(x1)f(x2

1 1

13ξ1ξ2ξ3,又向量β3

本题

在变r

r r

将β用ξξξ线性表 运动到椭球面x2y2z2上第一卦限的 M(,,

求Anβ(n为自然 当、、取何值r所做的功W最大?并求出WF大值 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分把答案填在题中横线上 PA)P(B)P(C)1PAB)0,PAC)PBC)1, A、B、C全不发生的概率 量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{Xe2X}= 设随X与Y独立X服从正态分N(,2),Y服从[,上的均匀分布ZXY的概率分布密度算结果用标准正态分布表示,其中(x)

2

2dt)1993年 把答案填在题中横线上

二、选择题(本题5小题,每小315f(xsinxsin(t2dtg(xx3x4,x0,f函数F(x) x(21

1)dt(xt

的单调减少区间

gx)y由曲线3x22y212yz

轴旋转一周得到的旋

(A)等价无穷 (B)同但非等价的无穷面在点(0, 2)处的指向外侧的单位法向量 设函数f(x)xx2(x) 叶级数展

高阶无穷 (D)低无穷双纽线(x2y22x2y2式为0(ancosnxbnsinnx),b3

积分表 div(gradu)

u

x2y2z2

(A)24cos20(B)44cos20 设n阶矩阵A的各行 和均为零,且A的秩

(C)20

cos2则线性方程 的通解

4(cos2)22n AX

设有直

x y

z8与l xy

则ll1

2

2yz l2的夹角(A)6

(B)4

求 x exex3

2

求微x2yxyy2满足初始条特解

x11设曲线积分[f(tex]sinydxf(xcosL

与路径fx具有一阶连续导f(0)0fx)(A)ex (B)exe

四、(本题满62(C)exex

exe

Ò2xzdydzyzdzdxx2x22x2

2

z

与z

所围立体的表面外侧 t,P为三阶非零矩阵, 3 PQ0,

五、(本题满7求级数(1)(nn求级数

的和(A)t6时P的秩必为 (B)t6(C)t6时P的秩必为 (D)t6

nn

设在0)

f(x

fx)k0,f(00,fx)在(0,内有且仅有一 )求lim(sin2 1 )

点设bae,证明abbax 把答案填在题中横线上本题8已知二次型fxxx)2x23x23x22axx(a0) 2过正交变换化成标准形fy22y25y2求参数a及所 的正交变换矩阵本题6设A是nm矩阵B是mn矩阵,其中nmI是n阶单

有0和2两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次 .设随X服从(0,2)上的均匀分布,则量YX2在(0,4)内的概率分布密度fY(y) 矩阵,若ABI证明B的列向量组线性无

设随机变量f(x)1ex,x2

的概率分布密度为本题6设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数vy轴正向运动.物体B从点(1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分十、填空题(本题2小题,每小36

求X的数学期望EX和方差DX求XX的协方差,并问XX是否不相关问XX是否相互独立?为什么1994年 把答案填在题中横线上

二、选择题(本题5小题,每小315设Mcos4xdx,NMcos4xdx,N 2(sin3xcos4x)dx,P 2(x2sin3xcos4 2limcot 2

)=

1x

sin

则zex2xy3(1,20)处的切平面方程为

NPMPNM

uex ,y

(2)

(D)PM x2y2R2 (x(x

fx,y)在点(x0y0)处两个偏,)a aD

(A)充分条件而非必要条 ,已知α[1,2,3],β 1 设Aαβ,其中α是α ,2置,则An

必要条件而非充分条(C)充分必要条 (D)非充分条件又非必要条an设常数0,且级 2收敛,则级an

n2

zex2xy3(1,20)处的切平面方程为1 1(A)发 (B)条收

uexsinx,y

(2(C)绝对收 (D) 敛性与

x2y2R2 atanxb(1cos x0cln(12x)d(1ex

2,其中a2c20,则必

2a(2aD

y)dxdy=

b4

b4

已知α[1,2,3],β 1 设Aαβ,其中α是α的 , ,(C)a (D)a4已知向量组α1α2α3α4线性无关,则向量1994年 把答案填在题中横线上

置,则An 二、选择题(本题5小题,每小315设M2cos4xdx,NM2cos4xdx,N 2(sin3xcos4x)dx,P 2(x2sin3xcos4

1x

limcot )=

sin 则NP

敛性与atanxb(1cos x0cln(12x)d(1ex

2,其中a2c20,则必MPNMPMfx,y)在点(x0y0)处两个偏,)充分条件而非必要条 必要条件而非充分条(C)充分必要条 (D)

(A)b4 (B)b4(C)a (D)a4已知向量组α1α2α3α4线性无关,则向量α1α2α2α3α3α4α4α1线性无α1α2α2α3α3α4α4α1线性无α1α2α2α3α3α4α4α1线性无α1α2α2α3α3α4α4α1线性无非充分条件又非必要条0,

an2an

n2n2

22

xcos(t2t2tytcos(t2)

cos

dyd2y在t2 2 (A)发 (B)条收

的值f(x)1ln1x1arctanxx展开x的幂 1 (C)绝对收 (D) 数 sin(2x)2sinx四、(本题满6

本题6已知AB的直角坐标分别(1,00)与(0,1,1).线段ABx轴旋转一周所成的旋转曲面为S求由S及两平z0z1所围成的立体体积计算曲面积S

x2y2

,其中

是由曲x2y2R2zR,zRR0)两平面所围成立体表面的外侧五、(本题满9fx),f(0)0,f(0)1,且[xy(xy)f(xy]dx[f(xx2y]dy0为一全微分方程,求fx)及此全微分方程的通解.六、(本题满8fx)在点x0的某一邻域内具有二阶连续导数

本题8设四元线性齐次方程组(Ⅰ) x1x20x2x4k1(0,1,1,0)k2(1,2,求线性方程组(Ⅰ)的基础解析问线性方程组和若.本题6

f

0,证明级数f

设A为n阶非零方阵A*是A的伴随矩阵A是A的转

矩阵,当A*AA十、填空题(本题2小题,每小36把答案填在题中横线上AB两个事件满足条件PAB)PAB),P(A)p,则P(B) 设相互独立的两个 量X,Y具有同一分布率,且的分布 P 则 量Zmax{X,Y}的分布率 设 量X和Y分别服从正态分布N(1,32)N(0,42),且X与Y的相关系数 1,设ZXY 求Z的数学期望EZ和DZ方差求X与Z的相关系数问X与Y是否相互独立?为什1995年

二、选择题(本题5小题,每小315所选项前的字母填在题后的括号内x3y2z1把答案填在题中横线上lim(13x)sinx

L:4x2yz20,则直线

2xy10z3(A)平行于 (B)在

(C)垂直于 (D)与

dxx

xcost (ab)gc

交[0,1]上f(x)0,则f(0),f(1),f(1f(0)[(ab)(bc)]g(ca) 幂级数R

n12n

的收敛半径

f(0)f(1)的大小顺序f(1)f(0)f(1)ff(1)f(1)f(0)f设三阶方AB满足关A1BA6ABA00 00

f(1)f(0)f(1)ff(1)f(0)f(1)fA 0,则B=

fx)可导F(x)f(x)(1sinx),f00Fx 1

7

在x0处可导(A)充分必要条 (B)分条件但非必要条(C)必要条件但非充分条 既非充分条件又非必要条

有一阶连续偏导数0.du 1fx)在区间[0,1]上连0f(x)dx1 求0dxxf(xf 设

(1)n 1则级n n(A)

与u2都收n

un

x2nu2都发 (1)计算曲面积分zdS,其中为锥面x2n

收敛,而u2n

un

体x2y22x内的部敛,而u2n

(2)将函fx)x10x24a13 a13 a,P100, 01 00五、(本题满7Aaa,则必

23

23 (C)PPA= (D)PPA=

设曲线L位于平xOy的第一象限内L上任一点M处33求L的方程1 2 2设uf(x,yz),(x2eyz)0,ysinx,其中f都具

六、(本题满8设函数Qx,y)在平xOy上具有一阶连续偏导线积L2xydxQ(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有 (0,0) Q(x, (0,0) Q(x, Q(x,y).本题8假设函fx)gx)在ab]上存在二阶导数,并且g(x)0,fa)fb)ga)gb)0,试证:(1)在开区间(a,b)内gx)0.在开区间(ab内至少存在一点,使f()f()g( g(本题7设三阶实对称矩阵A的特征值为11231

次射中目标的概率0.4,则X2的数学期望E(X2) 设X和Y为两个 量,P{X0,Y0}3,P{X0}P{Y0}4 则P{max(X,Y)0} 于的特征向量ξ1求

f(x) e

x0

x求 量YeX的概率密度fY(本题6设A为n阶矩阵,满足AAI(I是n阶单位矩阵A是的转置矩阵A0AI1996年 把答案填在题中横线上设lim(x2a)x8,则a= xx

每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目所选项前的字母填在题后的括号内(xay)dxydya则等(x(A)- ffx)f(0)0,

x(6,3,2),且与平4xy2z8垂直,则此平面方程 微分方程y2y2yex的通解 函数uln(xy2z2A(1,0,1)处沿A指向B(3,2,2)方向的方向导数 设A是43矩阵,且A的秩r(A)2,而B

f(0fx)的极大f(0fx)的极小(0,f(0))是曲yfx)的拐f(0fx)的极值,(0,f(0))也不是曲yf(x)的拐设a0(n12,L),且a收敛,常数(0,),则则r(AB)

1

2n2数(1)n(n

n绝对收 (B) 件收(C)发 (D)散性与

(2)设x110,xn1 6xn(n1,2,L),试证数列{xn}极限

f(x

,f(0)0,f(0)0F(x) x(x2t2f(t)dtx0时F(x)0

xk是同阶无穷小,则k

计算曲面积

(2xz)dydzzdxdy,S为有S zx2y2(0x1其法向量z轴正向的夹角为

角ux2

可把方程6

2z2四阶行列2

000ab000ab00000

vx

0 a1a2a3a4

2z

求常数a1a2a3a4

五、(本题满7

求级

的和

b3b4

(n21)2(a2a3b2b3)(a1a4b1b4六、(本题满7

设对任x0,yfx)上点x,fx))处的切线轴上的截距等于

的一般表达式求心形线ra(1cos)的全长,其中a0是常

x

f

f(x本题8设fx)[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)a,f(x)bab都是非负常数,c是(0,1)内任

设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和一点

f

2ab2

现从由A和

的产品分别占60%和40%的一批产品中随抽取一件,发现是次则该次品A生产的概率是本题6AIξξT其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列

设,是两个相互独立且均服从正态分布量ξT是

的转置

N(0,(1)2)的 量,则 量2

的数学期A2A的充分条件是ξTξ当ξTξ1时A本题8

E() 设,是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为P(i)1i12,3.3f(xxx5x25x2cx22xx6xx6xx的秩 1 1 2求参数c及此二次型对应矩阵的特征值f(x1x2x31表示何种二次曲面

XmaxYmin,).321Y写出二维 量的分布率321YXX123求 量X的数学期望E(X1997 数学一、填空题(本题5小题,每小315

二、选择题(本题5小题,每小3153sinxx2coslim x x0(1cosx)ln(1

二元函数f(x,y) x20

(x,y)(0,(x,y)(0,

,在点(0,设幂级

an

的收敛半径为3幂级

(A)连续,偏导数存 (B)nna(x1)n1的收敛区间 n

续,偏导数不存对数螺线e(,)标方程

(e2,

处切线的直角

(C)不连续,偏导数存 连续,偏导数不存 设A

3B为三阶非零矩阵,且ABO,

设在区间abfx)0,fx)0,fx)03 1

S f(x)dx,Sf(b)(ba),S

[f(a)f(b)](bt

则

有0中00白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回, .

S1S2SS2S1S3S3S1SS2S3设F(xx2esintsintdtFxx为正常 (B)负常(C)恒为 (D)不常 c1设αaαbαc则三条

计算I (x2y2)dv,其中为平面曲 y2 x绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z8所围成的区域计算曲线Ñzy)dx(xz)dy(xy)dz,其中c 2

2

2a3 b3 c3a2xb2yc2a3xb3yc3

是曲时针

x2y2xyz

从z轴正向往z轴负向看c的方向是 (其中a2b20,i12,3)交于一点的充要条 α1α2α3线性相α1α2α3线性无秩r(α1,α2,α3)秩r(α1,α2) (D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关设两个相互独立的 量X和Y的方差分别4和2,则 量3X2Y的方差

的人进行的,设该人群的总人数为N在t0时刻已掌握新技术的人数为x0在任意时刻t已掌握新技术的人数为xt)(将xt)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k0,求xt).

设直线l xybxayz3

在平面上,而平面

设

是秩为2

54曲面zx2y2相切于点(1,25),求ab之值fu)具有二阶连续导zf(exsiny

α[1,12,3],α[1,1,4,1],α[5,1,8,9]是齐次线性方 组Bx0的解向量,求Bx0的解空间的一个标准正交基足方程2z2z

1

2e2x f

已知ξ

3的一个特征

1是矩阵A 1 量五、(本题满6fx)连续,(x)f(xt)dt,limf1

AA为常数

求(x并讨论(x在x0处的连六、(本题满8设a0, 1(a1)(n1,2,L),证 nnliman存在级数an1收敛.n1an1

问A能否相似于对角阵?说明理.本题5设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和j行对换后到的矩阵记为证明B可逆求本题7从学校乘汽车到火车站的途中3个交通岗各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概是2.设X为途中遇到红灯的次数,求 量X的分5本题满分5）f(x)

0x其它其中1是未知参数X1X2,L,Xn是来自总体X的一个容法求的估计量1998年 一、填空题(本题5小题,每小315lim1x1x2

二、选择题(本题5小题,每小315

fx)连续

xtf(x2t2)dt02

zx

f(xy)y(xy),f,具有二阶连续导数,则

(A)xf(x2 (B)xf(x2(C)2xf(x2

x2y2

f(xx2x2)x3x设

为椭

a,

(C)1Ñ(2xy3x24y2)ds L

yyx)x设A为n阶矩阵,

0,A*为A的伴随矩阵E为n

y

1

x0

,x单位矩阵A有特征值,(A*)2E必有特征 设平面区域D由曲y1及直y0x1xe2x围成,二维 量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,

y0y(1) (A) 设矩 c是满秩的直x

y

zc3X,Y)关于X的边缘概率密度在x2处的

2

a1 b1 c1直线xa1yb1za2 b2 c2(A)相交于一 (B)重(C)平行但不重 (D)面设A, 是两个随机事件,0PA1P(B)0,P(B|A)P(B|A则必P(A|B)P(A|P(A|B)P(A|P(AB)P(A)P(BP(AB)P(A)P(B三、(本题满5求直线l:x1yz1在平面:xy2z10上的 影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方

,x0A(x,y)2xy(x4y2ix2x4y2j为某二元函数ux,y)的梯度,并求ux,y).五、(本题满6仪器的质量为m体积为B海水密度为仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k0试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系yy(v).六、(本题满7计 axdydz(za)2dxdy(x2y2z2)1

a2x2a2x2

z

的上侧,a为大于零的常数本题6七、(本题满61sin sin 1

已知二次曲面方程x2ay2z22bxy2xz2yz4 求lim n n

sin

xn

n2

n n

本题满分5分 n设正向数列{an}单调(1)nn

发散,试问级 )n是否收敛?并说明理由n1an本题6yfx)是区间[0,1上的任一非负连续函数试证存x0(0,1),使得在区间[0x0f(x0的矩形面积,等于在区间[x0,1yfx)为曲边的曲边

设A是n阶矩阵,若存在正整数k使线性方程组Akx有解向量α且Ak1α,a11x1a12x2

a1,2nx2nfx)在区(0,1)内可导f(x)2f(x),x

a21

x2L

x2n明(1)中的x0是唯一

an1x1an2x2Lan,2nx2n的一个基础解析(b,b,L )T,(b,b,L11

)T,L,(b,b,L, )T试写出z(xz(x性方程

b21y1b22y2Mbn1y1bn2y2

b1,2ny2nb2,2ny2nbn,2ny2n

设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地的通解,并说明理由 差为1的正态分布,求随 量XY的方差.2其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?附:标准正态分布

70分?.P{t(n)tp(n)}(x)

z

t2 1999年 把答案填在题中横线上

(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函 (B)fx是偶函数时F(x)必是奇(C)fx)是周期函数时F(x)必是周期函D)fx是单调增函数时F(x必是单调增函1cos

xlim(x0x

) xtan

设f(x)

gx)是有界函数dxsin(xt)2dt dxy4ye2x的通解为y

fx)在x0

x设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值 设两两相互独立的三事件ABC满足条ABC,PA)P(B)P(C)1,2且已知P(AUBUC)9,则P(A)=

(A)极限不存 (B)极存在,但不连(C)连续,但不可 (D)导设

f(x)

0x

,S(x)a0

acosnx,x22x1x 每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目

1

, 5等其中an20f(xcosn

(n0,1,2,L

S(2所选项前的字母填在题后的括号内fx是连续函数F(xfx)的原函

2(C)4

2(D)4设A是mn矩阵B是nm矩阵

求I (exsinyb(xy))dx(excosyL

其中ab(A)当mn时,必有行列式|AB| (B)mn时,必有行列式|AB|(C)当nm时,必有行列式|AB| (D)当n时,必有行列式|AB| 量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则P{XY0}2

的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y 2axx2到点O(0,0)的五、(本题满6设函yx)(x0二阶可导yx)0,y01.过曲yyx)上任意一点Px,y)作该曲线的切线及x轴的垂线上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0xyyx)为曲线的曲边梯形面积记为S2P{XY1}2P{XY0}2

2S1S21,y六、(本题满7

y(x

的方P{XY1}2

论证:当

x

(x21lnxx三、(本题满6yyx),zzx)是由方zxfxy)Fx,y,z)0确定的函数f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dz.四、(本题满5

七、(本题满6放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度3m/s,在提升过程中,污泥20N/s速率从抓斗缝

c设矩阵A

3其行列式|A|1,又A的伴中漏掉.现将抓起污泥的抓(说明:①1N1m=1Jm,N,s,J分别八、(本题满7

A*有一个特征00的一个特征向量为0α11,1)T求abc和的值.十一、(本题满6分)0设A为m阶实对称矩阵且正定B为mn实矩BTB的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条B的秩rB)S

x2y2

z21

十二、(本题满8Px,yz)S为S在点P处的切平面x,y,z)为点O(00到平面的距离,求 dS.S(x,y,九、(本题满7XYXYP(Xxi)1818P(Yyi)p161

设 量X与Y相互独立,下表列出了二维量X,Y联合分布率及X和关于Y的边缘分布率中的n设a 4tannxdxn0求

(anan2

的值1n11试证:对任意的常数0,级数an收n1十、(本题满8十三、(本题满66x(x)0<x设X的概率密度f(x)

,X1,X2,L,X是取自总体X的简单随机样2000年 1一、填空题(本题5小题,每小3151202xxdx 2x22y23z221(122)的法线方程 微分方程xy3y0的通解

所选项前的字母填在题后的括号内fx)gx)是恒大于零的可导函数,且fxgx)fxgx)0,则当axbf(x)g(b)f(b)g(xf(x)g(a)f(a)g(xf(x)g(x)f(b)g(bf(x)g(x)f(a)g(aSx2y2z2a2(z0S1为S 已知方程组

1x1 a2x3无解a

2 1 A和B都不发生的概率

xdS4 ydS4 zdS4 1,9

发生

不发生的概率与

发生

不发生的概率

xyzdS4 设级数un收敛,则必收敛的级数则P(A)

(1)nun (B)u2

二、选择题(本题5小题,每小315

(C)(u2n1u2n(D)(unun1设n维列向量组α1,L,αm(mn线性无关,则n

四、(本题满5向量组β,L,

线性无关的充分必要

zf(xy,xg(x)f具有二阶连续偏导数g (A)向量组α,L

可由向量组β,L

线性表

2 .(B)向量组β,Lβ可由向量组α,L,.

线性表

有二阶连续导数 (C)向量组α,L,α与向量组β

五、(本题满6(D)矩阵Aα1,L,αm与矩阵Bβ1,L,βm设二维 量(X,Y)服从二维正态分布,则随

计算曲线积

I xdyydx L4

是以

(1,0)变量XY与XY不相关的充分必要条件E(X)E(YE(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(YE(X2)E(Y2E(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(Y

心R为半径的圆周R1取逆时针方向六、(本题满7设对于半空x0内任意的光滑有向封闭曲面S,都Òxf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy0,其中函数fx)S(0内具有连续的一阶导数limf(x1fx)三、(本题满61求lim2exsinx

七、(本题满6xxx

1e

求幂级数

的收敛区间,并讨论该区间n13 点处的收敛性十一、(本题满8八、(本题满7设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k0),求球体的重心位置.九、(本题满6设函 f(x 在 上连续,

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练的人数统计,然后将1熟练工支援其他生产部门,其缺6由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及2.设第n年15熟练工与非熟练工所占百分比分别为xnyn,记成向xny ynf(x)dx

f(xcosxdx0试证(0,)内至少存在两

xn1

xny

n1 xn1 n1 n

n十、(本题满6设矩 的伴随矩

A* ,

验证η4η1是A的两个线性无关的1 1 1 1 2 向量,并求出相应的特征值

1

xn1 (3)当12时,求 y

yn1

1 2十二、(本题满8某流水线上每个产品不合格的概p(0p1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个X,求X的数学期望EX和方差DX十三、(本题满6X2e2(x)x0f(x;)0

x

x1x2,Lxn是X的一组样本观测值,求参数的最大似然估2001年

所选项前的字母填在题后的括号内(1fx)在定义域内可yfx)的图形如右图所示yf(x)的图形为把答案填在题中横线上(1yex(asinxbcosx)(ab为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为 r x2y2z

= 12交换二次积分的积分次序:dy f(x, 12

设A2A4EO,则(A2E)1= DX)2,则根据车贝晓夫不等式有估计

P{XE(X)2} 二、选择题(本题5小题,每小315

合同且相 (B)

f(x,

在点(00)

同但不(C)不合同但相 (D)合同且不相fx(0,0)3,fy(0,0)1(A)dz|(0,0)3dx(B)曲面zfx,y)在(00,f(00))处的法向量为

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向 向上的次数,则X和Y相关系数为(A)- (C{1,0,(D{3,

zf(x,y)(00,f(00))处的切向量为yzf(x,y)(00,f(00))处的切向量为y

(C)2

设f(0)0则f(x)在x=0处可导 三、(本题满分6分(Alimf(1cosh)

求arctan

f(1eh)

e2 (Climf(hsinh)

四、(本题满6 (Dlimf(2h)f(h)

设函数zfx,y

在点

可微,

111

f(1,11,f(1,12,f(1,1 ,x)fx,fx,

11

,则A与 A ,B 11111

0 0

d3

x1 八、(本题满8五、(本题满81

设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程设f(x)

arctanxx0

f(x

展开成

的幂级

面满足方zh(t

2(x2y2

(设长度单位为并求

x的和

单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成n11六、(本题满7LIy2z2dx(2z2x2dy(3x2yL

间九、(本题满6是平面xyz2与柱x去,L为逆时针方七、(本题满7

y1的交线,从Z轴正向

设α1α2Lαs为线性方程组AXO的一个基础解系β1t1α1t2α2,β2t1α2t2α3,L,βst1αst2α1其中t1t2为实常数,试问t1t2满足什么条件时β1β2L,βs为AXO的一个基础解系fx)在(1,1)内具有二阶连续fx)0(1x(1,0)(0,1),存在惟一的x)(0,1)fx)f(0xf(xx)成立

十、(本题满8已知三阶矩阵A和三维向xxAxA2x线性无关,且满足A3x3Ax2A2x.1记PxAxA2x求B使APBP1十一、(本题满7设某班车起点站上客人数X服从参数为0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数二维 量(X,Y)的概率分布十二、(本题满7设X~N(,2)抽取简单随机样本X,X,K, (n i样本均X1i2n

n ,Y(X 2X2,求E 2002年 把答案填在题中横线上

每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把)考虑二元函fx,y的四条性质fx,y)在点(x0y0处连续fx,y)在点(x0y0处(1)

xln2已知ey6xyx210,则y(0)

③f(x,y

在点(x0y0

处可微

f(x,y

在点(x0y0yyy20满足初始条y(0)1,y(0)1的特解2 f(xxx)ax2x2x24xx4xx4xx经正交变换 1 1 21可化 f6y2,则a 1X~N(,2)

的一阶偏导数存在则有(A)②③ (B)③(C)③④ (D)③y24yX 无实根的概率 0.5,

(2)设un0,且limn1,则级n

(1)n1(1

1

(A)发 (B)对收

(D设函fx在Rlimf(x0limf(x limf(x存在时limf(x (Climf(x)0limf(x limf(x存在时limf(x0

当

FX(x)FY(y)必为某一 量的分布函数三、(本题满6设函fx)x0的某邻域具有一阶连续导f(0f(0)0h0afh)bf(2h)f(0)oh),试求设有三张不同平面,其方程为aixbiycizdii1,2,3)它们所组成的线性方程数矩阵与增广矩阵的秩2,则这三张平面可能的位

ab的值四、(本题满7已知两曲线yf(x)与y arctanxet2dt在点(0,0)处的0线相同.求此切线的方程,并求极

.limnf(. 设X和Y是相互独立的连续型 量,它们的 五、(本题满分7分度函数分别f

,分布函数分别为

(x和FYy

计算二重积分emaxx2y2dxdyD

,其中则(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函 )(C)FX(x)＋FY(y)必为某一 量的分布函数

D{(x,y)|0x1,0y1}六、(本题满8设函fx)在R上具有一阶连续导L是上半平(c,d记I 1[1y2f(xy)]dxx[y2f(xy)1]dy y(2)当abcd时,求I

面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0y0,写出g(x0y0的表达D的边界线上找出使(1gx,y)达到最大值的点.试确七、(本题满7验证函y(x)

x)满足微分

九、(本题满6yyyex

n0

已知四阶方阵Aα1α2α3α4,α1α2α3α4均为列向量,其中α2α3α4α12α2α3求幂级y(x)n0八、(本题满7

的和函

βα1α2α3α4,求线性方程组Axβ的通十、(本题满8设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域Dx,y)|x2y2xy75},小山的高度函数为hx,y)75x2y2xy.M(x0,y0为区域D上一点,问hx,y)在该点沿

设AB为同阶方阵若AB相似,证明AB的特征多项式相等举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立十一、(本题满7设维 1cos 0x

零件,得到长度的平均值为40(cm),则的置信度为0.95的置信区间是 (注:标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)f(x)

其它

对X独立地重复4

表示观察值大于的次数3

二、选择题(本题6小题,每小424题给出的四个选项求Y2的数学期望X0123P2(11X0123P2(11

有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内(1f(x)在(,)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有一个极小值点和两个极大值2求的矩估计和最大似然估计值

2003年

(2)设{an},{bn},{cn均为非负数列,且liman0limbn1limcn,则必 (A)anbn对任意n成 (B)bncn对任意n成(C)极限不存(D)极限不存(C)极限不存(D)极限不存

已知函f(xy在点(0,0)的某个邻域内连续,且

f(xyxy11 曲面zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面的方程 设x2acosnx(x),则a

点(0,0)f(x,y的极值点(0,0)f(x,y的极大点(0,0)f(x,y的极小

x0,y0(x2y2

1

1 1

,从R2的基α ,α 到基β,β的过渡矩阵

,设二维 量(X,Y)的概率密度为f(x,y) 0

0xy1

当rs时,向量组II必线性相 (B)当rs时,向量组II必线性关P{XY1}

(D)当rs时,向量组I必线性关设有齐次线性方程组Ax0和Bx0,其中AB均为mn矩阵4个命题①若Ax0的解均是Bx0的解,则秩(A秩②若秩(A秩(B,则Ax0的解均是Bx0③若Ax0与Bx0同解,则秩(A秩秩(A秩(B,则Ax0与Bx0同解 设 量X~t(n)(n1),Y

1XY~2 (B)Y~2(n(C)Y~ (D)Y~F(1,

四、(本题满1212x展

将函f(x)

1

x的幂级数,并求级2n

的和三、(本题满10求D的面A求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积Vk.k0).汽锤第一次击打将桩打进 作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1).问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打 多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能桩打 已知平面区域Dxy0x,0y}L为D的正向边界.试证LxesinydyyesinxdxLxesinydyyesinxdxLsin sin dyyLsin sin 设函yy(x在(,内具有二阶导y0,xxyyy(x的反函数

2xysinxdx)30变换dy

y

满足的分方求变换后的微分方程满足初始条y(0)0,y(0)的解2某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打 的深度成正比(比例系数 设矩阵A 2,P

1BP1A*P,求B2E的特征值与特征向量,其

2

0 设函数f(x)连续 于零f(x2y2z2

f(x2y2

A*为A的伴随矩阵E3阶单位矩F(t) ,G(t)D(t) ,tf(x2y2tD(t其中(t)xyz)x2y2z2t2}D(t){(xyx2y2t讨论F(t在区间(0,证明当t0F(t2

f(x2已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装3件合格品3件次品,乙箱(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 ax2by3c0,l2bx2cy3a0l3: cx2ay3b0证这三条直线交于一点的充分必要条件abc

f(x)

2e2(x0

xx0XX1X2,Xnˆmin(X1,X2,,Xn(1)求总体X的分布函数F(x.(2)求统计量ˆ的分布函数F(x.(3)如果用ˆ作为的估计量,讨论它是否具有无偏性2004

limnan=0,则级an数学

若存在非零常数,使得lim

an曲线ylnx上与直线xy1垂直的切线方