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文档简介
圆的标准方程2023/1/171.问题1:具有什么性质的点的轨迹称为圆?平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题2:图中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点?
圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.问题3:求曲线的方程的一般步骤是什么?其中哪几个步骤必不可少?2023/1/172.(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p(M);(3)用坐标翻译条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0;
(5)证明化简后的方程为所求曲线的方程.
其中步骤(1)(3)(4)必不可少.2023/1/173.用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程:解:设M(x,y)是圆上任意一点,xyO.rM据圆的定义有|MC|=rC由距离公式,得两边平方,得2023/1/174.圆的标准方程
特点:
1、是关于x、y的二元二次方程,无xy项;
2、明确给出了圆心坐标和半径。3、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r.4、若圆心在坐标原点,则圆方程为
x2+y2=r22023/1/175.练习1.写出下列各圆的方程:(1)圆心在圆点,半径是3;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)(2)圆心在点C(3,4),半径是;点评:⑶中,可先用两点距离公式求圆的半径,或设,用待定系数法求解。2023/1/176.练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径(1)(2)(3)(-1,2)32023/1/177.例1.求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。解:因圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以圆心到直线的距离等于半径r,CxyOr因此,所求的圆的方程是2023/1/178.练习3.已知一个圆的圆心在原点,并与直线4x+3y-70=0相切,求圆的方程。2023/1/179.例2已知圆O的方程为,判断下面的点在圆内、圆上、还是圆外?解:①∵,∴点在圆上;②∵,∴点在圆内;③∵,∴点在圆外。⑵,P在圆上,
,P在圆外,
⑴,P在圆内。⑶小结:与圆的关系判断:2023/1/1710.例3已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。分析(一):设切线斜率为k,OM斜率为k1,则:所以切线方程为:x0x+y0y=r2xOMyP当M在坐标轴上时,上面方程仍适用。2023/1/1711.例3.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。xOMyP分析(二):设P为切线上任意一点,则OM⊥MP,所以:(x0,y0)·(x-x0,y-y0)=0所以切线方程为:x0x+y0y=r2.2023/1/1712.P(x,y
)
由勾股定理:|OM|2+|MP|2=|OP|2分析(三):
在直角三角形OMP中yxOx0x
+y0y=r2例3.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。2023/1/1713.总结:过一点求圆的切线的方程1、求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程:(1)圆C的方程为:(2)圆C的方程为:2023/1/1714.2、求经过圆外一点M(x0,y0)的切线的方程。常用求法简介:2023/1/1715.练习4.写出过圆x2+y2=10上一点M的切线的方程练习5.已知圆的方程是x2+y2=1,求(1)斜率等于1的切线的方程;(2)在y轴上截距是的切线的方程。2023/1/1716.例4:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)yx解:如图建立坐标系,设圆的方程是x2+(y-b)2=r2(r>0)。2023/1/1717.yx把P(0,4)、B(10,0)代入圆的方程得方程组:02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得:b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是:x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答:支柱A2P2的长度约为3.86m。2023/1/1718.例5已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?2023/1/1719.的内部,求实数a
的取值范围.1、若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4练习:2、求满足下列条件的各圆C的方程:
(1)和直线4x+3y-5=0相切,圆心在直线x-y+1=0上,半径为4;
(2)经过两点A(-1,0),B(3,2),圆心在直线x+2y=0上.3、已知圆过点P(-4,3),圆心在直线2x-y+1=0上,且半径为5,求这个圆的方程.-1<a<1(x-22/7)2+(y-29/7)2=42或(x+18/7)2+(y+11/7)2=422023/1/1720.4.求圆心C在直线x+2y+4=0上,且过两定点A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。5.从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线,求切线方程。x+3y=10或
3x-y=10(x+)2+(y+)2=3
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49502023/1/1721.小结
(1)圆心为C(a,b),半径为r
的圆的标准方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2
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