高中数学《解析几何初步》圆的标准方程教学 苏教必修2

圆的标准方程2023/1/171.问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？2023/1/172.（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p(M)；（3）用坐标翻译条件p(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化简方程f(x,y)=0；

（5）证明化简后的方程为所求曲线的方程．

其中步骤(1)(3)(4)必不可少．2023/1/173.用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：解：设M(x,y)是圆上任意一点，xyO．rM据圆的定义有|MC|=rC由距离公式，得两边平方，得2023/1/174.圆的标准方程

特点：

1、是关于x、y的二元二次方程,无xy项；

2、明确给出了圆心坐标和半径。3、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r.4、若圆心在坐标原点，则圆方程为

x2+y2=r22023/1/175.练习1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在圆点，半径是3；（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)（2）圆心在点C(3,4)，半径是；点评：⑶中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设，用待定系数法求解。2023/1/176.练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）（2）（3）（-1，2）32023/1/177.例1.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。解：因圆C和直线3x-4y-7=0相切，所以圆心到直线的距离等于半径r，CxyOr因此，所求的圆的方程是2023/1/178.练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。2023/1/179.例2已知圆O的方程为,判断下面的点在圆内、圆上、还是圆外？解：①∵，∴点在圆上；②∵，∴点在圆内；③∵，∴点在圆外。⑵，P在圆上，

，P在圆外，

⑴，P在圆内。⑶小结：与圆的关系判断：2023/1/1710.例3已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。分析(一)：设切线斜率为k，OM斜率为k1，则：所以切线方程为：x0x+y0y=r2xOMyP当M在坐标轴上时，上面方程仍适用。2023/1/1711.例3.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。xOMyP分析(二)：设P为切线上任意一点，则OM⊥MP，所以：(x0，y0)·(x-x0，y-y0)=0所以切线方程为：x0x+y0y=r2.2023/1/1712.P(x,y

)

由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2分析(三)：

在直角三角形OMP中yxOx0x

+y0y=r2例3.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。2023/1/1713.总结：过一点求圆的切线的方程1、求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程：（1）圆C的方程为：（2）圆C的方程为：2023/1/1714.2、求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程。常用求法简介：2023/1/1715.练习4.写出过圆x2+y2=10上一点M的切线的方程练习5.已知圆的方程是x2+y2=1，求（1）斜率等于1的切线的方程；（2）在y轴上截距是的切线的方程。2023/1/1716.例4：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx解：如图建立坐标系，设圆的方程是x2+(y-b)2=r2(r>0)。2023/1/1717.yx把P(0,4)、B(10,0)代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m。2023/1/1718.例5已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?2023/1/1719.的内部，求实数a

的取值范围．1、若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4练习：2、求满足下列条件的各圆C的方程：

(1)和直线4x＋3y－5＝0相切，圆心在直线x－y＋1＝0上，半径为4；

(2)经过两点A(－1,0)，B(3，2)，圆心在直线x＋2y＝0上．3、已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线2x－y＋1＝0上，且半径为5，求这个圆的方程．-1<a<1(x-22/7)2+(y-29/7)2=42或(x+18/7)2+(y+11/7)2=422023/1/1720.4.求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。5.从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方程。x+3y=10或

3x-y=10(x+)2+(y+)2=3

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49502023/1/1721.小结

(1)圆心为C(a,b)，半径为r

的圆的标准方程为

(x-a)2+(y-b)2=r2