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函数的单调性

2023/1/17.y=x2

从图象可以看到：图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+）上取值时，随着x的增大，相应的y值也增大，即如果取x1，x2[0，+），得到y1=f(x1)，y2=f(x2),那么当x1<

x2时有y1<

y2。这时我们就说函数y=x2在[0，+）上是增函数。图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间（-，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1，x2（-，0），得到y1=f(x1)，y2=f(x2),那么当x1<

x2时有y1>

y2。这时我们就说函数y=x2在（-，0）上是减函数。x1x2y1y2x2x1y2y12023/1/17.y=x3

2023/1/17.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<

x2

时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数x1x2y=f(x)f(x1)f(x2)2023/1/17.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数y=f(x)f(x1)f(x2)x1x22023/1/17.如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间中做y=f(x)的单调区间。在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。2023/1/17.例1：下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数。解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数。y=f(x)2023/1/17.例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1<

x2，则f(x1)-f(x2)=（3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)。由x1<

x2，得x1-

x2<

0，于是f(x1)-f(x2)<

0，即f(x1)<f(x2)所以，f(x)=3x+2在R上是增函数。2023/1/17.证明函数单调性的步骤：1、设x1，x2属于给定区间2、作差f(x1)--f(x2)并判断符号3、根据函数的单调性定义肯定此命题成立2023/1/17.例3：证明函数在上是减函数。2023/1/17.小结：1.有关单调性的定义；2.关于单调区间的概念；3.判断函数单调性的常用方法：定义法2023/1/17.练习1、如图，已知函数y=f(x),y=g(x)的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。y=f(x),

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