2023年全国普通高等学校招生统一考试-北京卷数学理科试题及详细解析

2023年全国普通高等学校招生统一考试北京卷数学理科试题及详细解析第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题。每题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。1.集合A=，，那么=()A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“〞是“曲线过坐标原点的〞〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A.1B.C.D.5.函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与关于轴对称，那么〔〕A.B.C.D.6.假设双曲线的离心率为，那么其渐近线方程为〔〕A.B.C.D.7.直线过抛物线的焦点且与轴垂直，那么与所围成的图形的面积等于〔〕A.B.2C.D.8.设关于，的不等式组表示的平面区域内存在点满足，求得的取值范围是〔〕A.B.C.D.第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题共6题，每题5分，共30分.9.在极坐标系中，点到直线的距离等于10.假设等比数列满足，，那么公比；前项和。.11.如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，，，那么，.12.将序号分别为，，，，的张参观券全局部给人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如下图，假设c=λa＋μb(λ，μ∈R)，那么=。14.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为.三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程15.(本小题共13分)在中，，2，.(=1\*ROMANI)求值。(=2\*ROMANII)求的值。16.(本小题共13分)下列图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天〔Ⅰ〕求此人到达当日空气重度污染的概率〔Ⅱ〕设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望。〔Ⅲ〕由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？〔结论不要求证明〕17.(本小题共14分)如图，在三棱柱中，是边长为的正方形.平面平面，，.〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值；〔Ⅲ〕证明：在线段存在点，使得，并求的值.18.(本小题共13分)设为曲线在点处的切线.(=1\*ROMANI)求的方程；(=2\*ROMANII)证明：除切点之外，曲线在直线的下方.19.(本小题共14分)、、是椭圆上的三个点，是坐标原点.(=1\*ROMANI)当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积.(=2\*ROMANII)当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由.20.(本小题共13分)是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项，…的最小值记为，(〔1〕假设为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意，)，写出，，，的值；(=2\*ROMANII)设为非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列；(=3\*ROMANIII)证明：假设，，那么的项只能是或，且