2022年湖北省荆门市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)

2022年湖北省荆门市成考专升本高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.

2.下列命题中正确的为

A.若x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，则点x0必为f(x)的极值点

C.若f'(x0)≠0，则点x0必定不为f(x)的极值点

D.若f(x)在点x0处可导，且点x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

3.

若y1·y2为二阶线性常系数微分方程y〞+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2（）.A.为所给方程的解，但不是通解

B.为所给方程的解，但不一定是通解

C.为所给方程的通解

D.不为所给方程的解

4.

5.设y=sinx，则y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

6.设f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为()。A.

B.

C..

D.不能确定

7.

8.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

9.（）。A.sinx＋ccosx

B.sinx-xcosx

C.xcosx-sinx

D.-(sinx＋xcosx)

10.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx11.设函数f(x)在[a，b]上连续，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积等于（）。A.

B.

C.

D.

12.A.-1

B.1

C.

D.2

13.

14.

15.A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.无关条件

16.设y=2x3，则dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

17.

18.

19.设函数/(x)=cosx，则

A.1

B.0

C.

D.-1

20.若x0为f(x)的极值点，则（）．A.A.f(x0)必定存在，且f(x0)＝0

B.f(x0)必定存在，但f(x0)不－定等于零

C.f(x0)不存在或f(x0)＝0

D.f(x0)必定不存在

21.A.A.

B.

C.

D.

22.

23.

24.

25.（）。A.2ex＋C

B.ex＋C

C.2e2x＋C

D.e2x＋C

26.等于()．A.A.0

B.

C.

D.∞

27.A.A.4/3B.1C.2/3D.1/328.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx29.A.A.

B.

C.

D.

30.

31.

32.方程z=x2+y2表示的曲面是（）

A.椭球面B.旋转抛物面C.球面D.圆锥面

33.

34.

35.A.A.f(2)－f(0)

B.

C.

D.f(1)－f(0)

36.设y=e-3x，则dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

37.

38.平面的位置关系为()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合39.A.A.1

B.1/m2

C.m

D.m2

40.

41.曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线的斜率k=A.A.2B.1C.0D.-142.函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是()。A.(-5，5)B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.(-∞，+∞)43.用多头钻床在水平放置的工件上同时钻四个直径相同的孔，如图所示，每个钻头的切屑力偶矩为M1=M2=M3=M4=一15N·m，则工件受到的总切屑力偶矩为()。

A.30N·m，逆时针方向B.30N·m，顺时针方向C.60N·m，逆时针方向D.60N·m，顺时针方向

44.

45.A.A.

B.

C.-3cotx+C

D.3cotx+C

46.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（）A.A.2B.-2C.3D.-3

47.

48.

49.

50.设函数在x=0处连续，则a等于()．A.A.0B.1/2C.1D.2二、填空题(20题)51.

52.

53.

54.

55.

56.设区域D由曲线y=x2，y=x围成，则二重积分

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.设y=cosx，则dy=_________。

65.66.67.

68.

69.

70.曲线y=1-x-x3的拐点是__________。

三、计算题(20题)71.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．72.

73.求曲线在点(1，3)处的切线方程．74.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

75.

76.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．77.

78.求微分方程的通解．79.80.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

81.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．82.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

83.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

84.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

85.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．86.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则87.88.89.证明：

90.

四、解答题(10题)91.

92.计算其中区域D由y=x，y=0，x2+y2=1围成的在第一象限内的区域．

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.确定函数f(x,y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点.

五、高等数学(0题)101.设f(x)的一个原函数是lnx，求

六、解答题(0题)102.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

参考答案

1.C

2.D解析：由极值的必要条件知D正确。

y=｜x｜在x=0处取得极值，但不可导，知A与C不正确。

y=x3在x=0处导数为0，但x0=0不为它的极值点，可知B不正确。因此选D。

3.B

4.B

5.A由于

可知应选A．

6.B本题考查的知识点为定积分的几何意义。由定积分的几何意义可知应选B。常见的错误是选C。如果画个草图，则可以避免这类错误。

7.C

8.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此为常系数一阶线性齐次方程，其特征根为r=2，所以其通解为y=Ce2x，又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

9.A

10.B

11.C

12.A

13.A

14.A解析：

15.D

16.B由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．

17.B

18.A

19.D

20.C本题考查的知识点为函数极值点的性质．

若x0为函数y＝f(x)的极值点，则可能出现两种情形：

(1)f(x)在点x0处不可导，如y＝|x|，在点x0＝0处f(x)不可导，但是点x0＝0为f(x)＝|x|的极值点．

(2)f(x)在点x0可导，则由极值的必要条件可知，必定有f(x0)＝0．

从题目的选项可知应选C．

本题常见的错误是选A．其原因是考生将极值的必要条件：“若f(x)在点x0可导，且x0为f(x)的极值点，则必有f(x0)＝0”认为是极值的充分必要条件．

21.D

22.C

23.A

24.C

25.B

26.A

27.C

28.C本题考查的知识点为二阶偏导数。由于z＝ysinx，因此可知应选C。

29.C

30.A

31.B

32.B旋转抛物面的方程为z=x2+y2.

33.C解析：

34.B

35.C本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和不定积分的性质．

可知应选C．

36.C

37.A

38.A本题考查的知识点为两平面的关系。两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；

当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A。

39.D本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小代换．

解法1由可知

解法2当x→0时，sinx～x，sinmx～mx，因此

40.A

41.C

42.C本题考查的知识点为判定函数的单调性。

y=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)。

当x＞0时，y'＞0，y为单调增加函数，

当x＜0时，y'＜0，y为单调减少函数。

可知函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+∞)，故应选C。

43.D

44.C

45.C

46.C点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C．

47.B

48.C

49.B

50.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

由函数连续性的定义可知，若f(x)在x=0处连续，则有，由题设f(0)=a，

可知应有a=1，故应选C．

51.

52.(-22)(-2，2)解析：

53.

54.5/2

55.56.本题考查的知识点为计算二重积分．积分区域D可以表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

57.12x

58.

59.y=-e-x+C

60.0

61.

解析：

62.x2x+3x+C本题考查了不定积分的知识点。

63.

64.-sinxdx

65.解析：66.(－∞，＋∞)．

本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

若ρ＝0，则收敛半径R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．

若ρ＝＋∞，则收敛半径R＝0，级数仅在点x＝0收敛．

67.x--arctanx+C本题考查了不定积分的知识点。

68.

69.

70.(01)

71.

72.

则

73.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

74.函数的定义域为

注意

75.

76.77.由一阶线性微分方程通解公式有

78.

79.

80.

81.

82.

列表：

说明

83.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

84.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％85.由二重积分物理意义知

86.由等价无穷小量的定义可知

87.

88.

89.

90.

91.92.利用极坐标计算，

93.

94.

95.

96.

97.

98.99.本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算．

积分区域D如图2—1所示．

解法1利用极坐标系．

D可以表示为

解法2利用直角坐标系．

如果利用直角坐标计算，区域D的边界曲线关于x，y地位等同，因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点．注意

可以看出，两种积分次