上海民办兰生复旦中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析

上海民办兰生复旦中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线与圆相交于不同的A,B两点（其中是实数），且(O是坐标原点)，则点P与点距离的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A．圆的一部分

B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分

D．抛物线的一部分参考答案：B以线段AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设C(x,y)是运动轨迹上任一点，且，则，所以，，所以，即，即且，所以点C的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B．点睛：本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程．

3.已知四边形中，,，,是边所在直线上的动点，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的棱长为（）A． B．1 C．2 D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体．【解答】解：依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有，解得，故2x=1，即新工件棱长为1．故选B．5.若x为实数，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B6.在△ABC中，，c=4，，则b=（）A. B.3 C. D.参考答案：B【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据正弦定理即可计算解得b的值．【详解】∵，c=4，，∴，∴由正弦定理，可得：，解得：b=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．7.若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为（an）*，则得到一个新数列{（an）*}．例如，若数列{an}是1，2，3…，n，…，则数列{（an）*}是0，1，2，…n﹣1，…已知对任意的n∈N*，an=n2，则（（an）*）*=(

)A．2n B．2n2 C．n D．n2参考答案：D【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】对任意的n∈N*，an=n2，可得=0，=1==，=…=，…，可得=1，=4，=9，…，即可猜想出．【解答】解：对任意的n∈N*，an=n2，则=0，=1==，=…=，=3=…=，…，∴=1，=4，=9，…，猜想（（an）*）*=n2．故选：D．【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式，考查了猜想能力、计算能力，属于中档题．8.已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi，（a，b∈R），则，求出，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件即可求出a，b的值，则答案可求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），则，∴，=，∴4a+2bi=2+2i，解得：a=，b=1．∴．故选：B．9.的三个内角A，B，C所对的边分别为，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B根据正弦定理可知，即，所以，选B.10.已知正项等比数列满足。若存在两项使得，则的最小值为(

)（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x﹣2y过可行域内的点A时，从而得到z=3x﹣2y的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=3x﹣2y，当直线经过A（0，﹣2）时，z取到最大值，Zmax=4．故答案为：4．12.在中，若，则▲。参考答案：【知识点】解三角形

C8在三角形中，所以已知式子为，即，而，故答案为2.【思路点拨】利用三角形的内角可得，展开可得，而将所求式子正切化为弦，就可得结果.13.设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．参考答案：14.已知命题A是命题B的充分不必要条件，命题B是命题C的充要条件，则命题C是命题A的________条件

参考答案：必要不充分略15.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是

．参考答案：16.若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．参考答案：19

略17.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则△ABC最大的余弦值为

．参考答案：由题设三边长分别为:a,,2a,且2a为最大边,所对的角为,

由余弦定理得:

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足a1=﹣1，a2=1，且an+2=an(n∈N*)．（1）求a5+a6的值；（2）设Sn为数列{an}的前n项的和，求Sn；（3）设bn=a2n﹣1+a2n，是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得bi，bj，bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．结合a1=﹣1，a2=1，进一步求得，则a5+a6可求；（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k），代入等比数列前n项和公式求解；②当n=2k﹣1时，由Sn=S2k﹣a2k求解；（3）由（1）得（仅b1=0且{bn}递增）．结合k＞j，且k，j∈Z，可得k≥j+1．然后分k≥j+2与k=j+1两类分析可得满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．【解答】解：（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．又a1=﹣1，a2=1，∴，即a5+a6=2；（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）===．②当n=2k﹣1时，Sn=S2k﹣a2k===．∴；（3）由（1），得（仅b1=0且{bn}递增）．∵k＞j，且k，j∈Z，∴k≥j+1．①当k≥j+2时，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差数列，则=，此与bn≥0矛盾．故此时不存在这样的等差数列．②当k=j+1时，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差数列，则=，又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．若i≤j﹣2，则bi≤bj﹣2，得，得≤0，矛盾，∴i=j﹣1．从而2bj=bj﹣1+bj+1，得，化简，得3j﹣2=1，解得j=2．从而，满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．19.（本小题满分12分）已知函数，（1）若函数是奇函数，求的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）先求，因是奇函数，根据定义有，代入上式可得的值；（2）由上恒成立上恒成立，只需求的最小值即可，由基本不等式可得的最小值，从而得实数的取值范围．试题分析：（1）1；（2）．试题解析：（1），∵是奇函数

∴恒成立∴，即

∴（2）上恒成立上恒成立设，则只需

∵

∴

∴当且仅当故，∴的取值范围是考点：1、函数的奇偶性；2、利用基本不等式求最值．20.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．（Ⅰ）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差，其中．参考答案：【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用平均数求出x的值，根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．（Ⅱ）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案【解答】解：（I）∵甲班学生的平均分是85，∴．…∴x=5．…则甲班7位学生成绩的方差为s2==40．…（II）甲班成绩在90（分）以上的学生有两名，分别记为A，B，…乙班成绩在90（分）以上的学生有三名，分别记为C，D，E．…从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．…其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．…记“甲班至少有一名学生”为事件M，则，即从成绩在90（分）以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．…【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．21.（本题满分14分）已知函数（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在定义域内为增函数，求实数m的取值范围;(Ⅲ)若，的三个顶点在函数的图象上，且，、、分别为的内角A、B、C所对的边。求证：参考答案：（Ⅰ）)的定义域为，，..........1分时，=,得.............2分随的变化情况如下表：

+

+

...................4分

,

.........5分（Ⅱ）函数在定义域内为增函数，恒成立，恒成立。............7分（当且仅当时取等号）,........9分.........10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知,时,在为增函数,的三个顶点在函数的图象上，且,...........11分.....13分.即...............14分22.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可．解答： 解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到