上海民办侨华高级中学2022年高一数学文联考试题含解析

上海民办侨华高级中学2022年高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则是

（

）A.等腰直角三角形

B.有一内角是的直角三角形C.等边三角形

D.有一内角是的等腰三角形参考答案：A2.已知是上的增函数，那么实数a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C3.设函数，若实数满足，则()A．

B．

C．

D．参考答案：A4.函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，∴只有f（）?f（）＜0，∴函数的零点在区间[，]上．故选C．【点评】本题考查函数零点的存在性判定定理，考查基本初等函数的函数值的求法，是一个基础题，这是一个新加内容，这种题目可以出现在高考题目中．5.与向量平行的单位向量是（

）A.(0,1) B.(1,0) C. D.(－3,－4)参考答案：C【分析】由计算即可得出答案.【详解】与向量平行的一个单位向量，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查向量的模和向量的坐标运算，属于基础题.6.已知数列{an}是等比数列，若a9a22+a13a18=4，则数列{an}的前30项的积T30=（）A．415B．215C．D．315参考答案：D略7.函数f（x）=（x3﹣3x）sinx的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数特殊点，排除选项即可．【解答】解：函数f（x）=（x3﹣3x）sinx是偶函数，排除A，D；当x=时，f（）=（（）3﹣3×）×＜0，排除B，故选：C．8.对数式中，实数的取值范围是（

）.A.

B.C.

D.参考答案：C9.已知为锐角，且，则等于

A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知△ABC中，a=1，b=，B=45°，则角A等于（） A．150° B．90° C．60° D．30°参考答案：D【考点】正弦定理． 【分析】根据正弦定理，将题中数据代入即可求出角B的正弦值，进而求出答案． 【解答】解：∵，B=45° 根据正弦定理可知 ∴sinA== ∴A=30° 故选D． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则的元素个数为________________

参考答案：略12.已知，则的大小关系为_____.参考答案：略13.若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为1，则直线m的倾斜角的大小为．参考答案：120°【考点】两条平行直线间的距离．【分析】由两平行线间的距离=1，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为30°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=1，直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为1，可得直线m和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为30°，故直线m的倾斜角为120°，故答案为：120°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，属于基础题．14.在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a12＝__________．参考答案：1615.已知数列{an}，，且，则________．参考答案：【分析】由题意可得{}是以+1为首项，以2为公比的等比数列，再由已知求得首项，进一步求得即可．【详解】在数列中，满足得，则数列是以+1为首项，以公比为2的等比数列，得，由，则，得．由，得，故．故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推式，利用构造等比数列方法求数列的通项公式，属于中档题．16.不等式的解集是__.参考答案：【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可.【详解】由得,故解集为故答案为：【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题型.17.设函数，若对任意恒有成立，则的最小值为 ．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质．【专题】空间角．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥AA1，BD⊥AC，从而得到BD⊥平面A1AC，由此能证明BD⊥A1C．（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值．（Ⅲ）设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．利用向量法能求出当=时，平面A1CD1⊥平面PBD．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴AA1⊥平面ABCD，且ABCD为正方形．…（1分）∵BD?平面ABCD，∴BD⊥AA1，BD⊥AC．…（2分）∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC．…（3分）∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C．…（4分）（Ⅱ）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），…（5分）∵=（2，0，0），=（0，2，﹣4）．设平面A1D1C的法向量=（x1，y1，z1）．∴．即，…（6分）令z1=1，则y1=2．∴=（0，2，1）．由（Ⅰ）知平面AA1C的法向量为=（2，2，0）．…（7分）∴cos＜＞==．…（8分）∵二面角A﹣A1C﹣D1为钝二面角，∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值为﹣．…（9分）（Ⅲ）解：设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．∵=（x2，y2﹣2，z2），=（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．∴（x2，y2﹣2，z2）=λ（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．…（10分）即．∴P（0，2，）．…（11分）设平面PBD的法向量．∵，，∴．即．…（12分）令y3=1，得=（﹣1，1，﹣）．…（13分）若平面A1CD1⊥平面PBD，则=0．即2﹣=0，解得．所以当=时，平面A1CD1⊥平面PBD．…（14分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.已知集合，求的值及集合.参考答案：20.（本小题满分12分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有可见可以表示为的三次多项式。一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.（I）求证：；（II）请求出，即用一个的四次多项式来表示；(III)利用结论，求出的值.参考答案：（本小题满分12分）解：（I）证法一：

(4分)

（4分）（II）

（8分）（III），，

（12分）略21.

某学校一位教师要去某地参加全国数学优质课比赛，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机直接去的概率分别为0.3、0.1、0.2、0.4.（Ⅰ）求他乘火车或乘飞机去的概率；（Ⅱ）他不乘轮船去的概率；参考答案：解：记A=“他乘火车去”，B=“他乘轮船去”，C=“他乘汽车去”，D=“他乘飞机去”，

由题意可知：P(A)=0.3，P(B)=0.1，P(C)=0.2,P(D)=0.4,且事件A、B、C、D两两互斥

（1）“他乘火车或乘飞机去”即为事件A∪D.P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7………………6分

(2)“他不乘轮船去”的事件为，所以P()=1-P(B)=1-0.1=0.9

即他不乘轮船去的概率为0.9

……………12分略22.移动支付(支付宝支付，微信支付等)开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人。已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6。(1)完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由。

习惯使用移动支付不习惯使用移动支付合计（人数）60岁以上

60岁及以下

合计（人数）

20