上海市淞浦高级中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

上海市淞浦高级中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（其中是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略2.已知且，，则的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={}；③M={}；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（

）

A.①②

B.②③

C.①④

D.②④参考答案：D4.已知直线a、b，平面，那么“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.【详解】若，则在平面内必定存在一条直线有，因为，所以，若，则，又，即可得，反之，若，由，，可得，又，则有.所以“”是“”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属中档题.5.若集合A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}，则集合A∪B=（

）A.{1,2,3,4,5,6,8} B.{2,3,4,5,6}C.{1,3,5,6,8} D.{2,4}参考答案：A.试题立意：本小题考查集合的并集运算等基础知识；考查运算求解能力.6.过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A【知识点】双曲线因为斜率为正值的渐近线方程为与之平行的直线为由题意得两平行线的距离为化简得。

所以，离心率的取值范围是

故答案为：A7.已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．8.在透明塑料制成的正方体容器中灌进体积的水，密封后可以任意摆放，那么容器内水面形状可能是：①三角形；②梯形；③长方形；④五边形．其中正确的结果是A．①②③

B．①③④

C．②③④

D．①②③④参考答案：D9.函数，的图象可能是下列图象中的

参考答案：C10.若复数为纯虚数，则A． B．13 C．10 D．参考答案：解：由．因为复数为纯虚数，所以，解得．所以．故选：．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S的值为___________.参考答案：21略12.f(x)在x＝1处连续，且＝2，则f(1)等于

.参考答案：013.已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为．参考答案：45°考点：直线与平面所成的角．

专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求直线和平面所成的角．解答：解：以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则C（0，1，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0），=（﹣，﹣，0）设=（x，y，z）为平面CMN的法向量，∵=（1，﹣1，），=（，﹣1，0），∴∴可得平面CMN的一个法向量=（2，1，﹣2），设直线SN与平面CMN所成角为θ，∵sinθ=|cos＜，＞|=，∴SN与平面CMN所成角为45°．故答案为：45°．点评：本题主要考查直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．14.函数(，),有下列命题：①的图象关于y轴对称；②的最小值是2；③在上是减函数，在上是增函数；④没有最大值．其中正确命题的序号是

.（请填上所

有正确命题的序号）参考答案：①④

15.已知α为第二象限角，，则cos2α=

.参考答案：16.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围_____________.参考答案：17.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是

。

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c∈R，，求b（a+c）的最大值．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据分段函数的单调性求出函数的最大值，即可求出k的值，（2）根据基本不等式即可求出答案【解答】解：（1）由于f（x）=，当x≥﹣1时，f（x）max=f（1）=1﹣3=﹣4，当﹣1＜x＜1时，f（x）＜f（﹣1）=3﹣1=2，当x≤﹣1时，f（x）max=f（﹣1）=﹣1+3=2，所以k=f（x）max=f（﹣1）=2，（2）由已知，有（a2+b2）+（b2+c2）=4，因为a2+b2≥2ab（当a=b取等号），b2+c2≥2bc（当b=c取等号），所以（a2+b2）+（b2+c2）=4≥2（ab+bc），即ab+bc≤2，故max=2．19.如图，在平面直角坐标中，过F（1，0）的直线FM与y轴交于点M，直线MN与直线FM垂直，且与x轴交于点N，T是点N关于直线FM的对称点．（1）点T的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）椭圆E的中心在坐标原点，F为其右焦点，且离心率为，过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，与椭圆交于P、Q两点，请问：是否存在直线使A、F、Q是线段PB的四等分点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设T（x，y），可知FM的斜率必存在，故设直线FN的方程为y=k（x﹣1），求出M（0，﹣k），N（﹣k2，0）），由T是点N关于直线FM的对称点，得T的坐标x，y满足．即可得曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）易得椭圆的方程为．假设存在直线l使A、F、Q是线段PB的四等分点，当直线l的斜率不存在或为0时，显然不满足题意．设直线l的方程为y=m（x﹣1）（m≠0）．由图形可知，必有2AF=FB．联立方程，利用韦达定理解得m=，再分别验证即可．【解答】解：（Ⅰ）设T（x，y），可知FM的斜率必存在，故设直线FN的方程为y=k（x﹣1）令x=0，得M（0，﹣k），∴当k≠0时，直线MN的方程为y+k=﹣．令y=0，得N（﹣k2，0）），∵T是点N关于直线FM的对称点∴T的坐标x，y满足．消去k得y=4x，当k=0时得T（0，0）．曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）椭圆E的中心在坐标原点，F为其右焦点，且离心率为，∴椭圆的方程为．假设存在直线l使A、F、Q是线段PB的四等分点，当直线l的斜率不存在或为0时，显然不满足题意．设直线l的方程为y=m（x﹣1）（m≠0）．由图形可知，必有2AF=FB．设A（x1，y1），B（x2，y2），由得my2﹣4y﹣4m=0；△=16+16m2＞0，∴，y1y2=﹣4；∵2AF=FB．∴，又∵，解得m=①当m=2时，直线l的方程为y=2（x﹣1）此时解得A（，﹣），B（2，2）．由，得P（，﹣），Q（，）．可得yB≠2yQ，∴点Q不是FB的中点，∴A、F、Q不是线段PB的四等分点．同理m=﹣2时，也可得A、F、Q不是线段PB的四等分点．综上不存在直线l使A、F、Q是线段PB的四等分点．

20.设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m．参考答案：【考点】不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，再利用导数大于0，求函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减可得解（Ⅲ）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a①a=0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数

…②当a＞0时，f（x）在上递增，在单调递减．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，在[0，1]上单调递减又∴∴当时，方程f（x）=t有两解

…（Ⅲ）要证：（1+m）n＜（1+n）m只需证nln（1+m）＜mln（1+n），只需证：设，则…由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减

…∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是减函数，而m＞n∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．

…21.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan+1对?n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．参考答案：【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和；8G：等比数列的性质．【分析】（I）设出此等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和公式化简S4=14得到关于首项和公差的关系式，又a1，a3，a7成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列{an}的通项公式即可；（II）把（I）中求出的数列{an}的通项公式代入数列中，根据=﹣，列举出数列的前n项和的每一项，抵消后得到Tn的通项公式，将求出的Tn的通项公式和an+1的通项公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，即可得到实数λ的最小值．【解答】解：（I）设公差为d，由已知得：，即，解得：d=1或d=0（舍去），∴a1=2，故an=2+（n﹣1）=n+1；（II）∵==﹣，∴Tn=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵Tn≤λan+1对?n∈N*恒成立，即≤λ（n+2），λ≥?n∈N*恒成立，又=≤=，∴λ的最小值为．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，掌握不等式恒成立时满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．学生在求数列{}的前n项和时，注意利用=﹣．22.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，.（1）求四棱锥A1-ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．参考答案：（1）4；（2）.【分析】（1）四棱锥A1﹣ABCD的体积，由此能求出结果．（2）由DD