上海市浦东新区致远中学2021年高二数学理测试题含解析

上海市浦东新区致远中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点C为抛物线的准线与轴的交点，点F为焦点，点A、B是抛物线上的两个点。若，则向量与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知，则方程与在同一坐标系下的大致图形可能是（

）参考答案：C略4.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图是针对某一多项式求值的算法，如果输入的x的值为2，则输出的v的值为（）A.129 B.144 C.258 D.289参考答案：D【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，不满足条件，执行循环体；，不满足条件，执行循环体；，不满足条件，执行循环体；，不满足条件，执行循环体；，满足条件，结束循环；输出．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．5.是椭圆上的一点，和是焦点，若∠F1PF2=30°，则△F1PF2的面积等于

（

）

参考答案：B略6.椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】把椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k，再进行判定即可．【解答】解：椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故选：A．7.A、

B、

C、

D、参考答案：B略8.若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．9.展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

解析：只有第六项二项式系数最大，则，

，令10.设抛物线的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|等于A．

B.8

C.

D.4参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为，已知，则角C的大小为

。参考答案：90°12.在平面直角坐标系中，若一个多边形的顶点全是格点（横、纵坐标都是整数），则称该多边形为格点多边形。已知△ABC是面积为8的格点三角形，其中A（0，0），B（4，0）。在研究该三角形边界上可能的格点个数时，甲、乙、丙、丁四位同学各自给出了一个取值，分别为6，8，10，12，其中得出错误结论的同学为___________。参考答案：丙【分析】根据条件设三角形的高为，结合三角形的面积得到高，即顶点C在直线上，结合C的整点坐标，利用数形结合进行排除，即可求解．【详解】设三角形高为，则三角形的面积，解得，即C的纵坐标为4，若或时，则三角形边界上的格点个数为12个，如图所示，若点，则三角形边界上的个数个数为8个，如图所示，

若或时，则三角形边界上的格点个数为6个，如图所示，所以不可能是10个，所以其中得出错误结论的同学为丙．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中结合条件求出三角形的高，即顶点C的位置，利用数形结合以及特殊值法求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．13.函数y=f(x)为R上的增函数，则y=f(|x+1|)单调递减区间是____________.参考答案：14.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱A1B1与截面A1ECF所成的角的余弦值是______.参考答案：.解析：

，.设棱A1B1与截面A1ECF所成的角为,则,

.

15.已知等差数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）__________，__________，__________，当__________时，取得取小值，最小值为__________．（Ⅱ）若数列中相异的三项，，成等比数列，求的最小值．参考答案：（），，，∴，解得，，∴．，∴．（），，，，，分数，，，，分数，，．综上，时，的最小值．16.抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．参考答案：(4,0)解：设直线的方程为代入抛物线，消去得,设，，则，，∴，∴（舍去）或,故直线过定点(4,0)．17.若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是

．参考答案：（﹣4，2）【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）当时，，其定义域是∴

令，即，解得或．，∴

舍去．

当时，；当时，．∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．当时，，即．∴函数只有一个零点．

（Ⅱ）显然函数的定义域为∴ 1

当时，在区间上为增函数，不合题意2

当时，等价于，即此时的单调递减区间为．依题意，得解之得．

当时，等价于，即此时的单调递减区间为，∴

得综上，实数的取值范围是

法二：①当时，在区间上为增函数，不合题意…②当时，要使函数在区间上是减函数，只需在区间上恒成立，只要恒成立，解得或

综上，实数的取值范围是19.如图，在直三棱柱中，，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离。参考答案：考点：距离平行试题解析：∵在直三棱柱中，，，∴两两垂直，如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则．（1）证明：设与的交点为，则．∵，∴，∴。∵平面平面，∴平面（2）设点到平面的距离为，在三棱锥中，∵，且平面，∴易求得，∴．即点到平面的距离是．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知B≠，且3cosC+c?cosB=（1）求b的值；（2）若B=，求△ABC周长的范围．参考答案：见解析【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角形内角和公式消去A，结合正弦定理即可求解b的值．（2）若B=，利用正弦定理把a，c表示出来，转化为函数问题求解△ABC周长的范围．【解答】解：由可得：?3sinBcosC+c?sinBcosB=3sin（B+C）?3sinBcosC+c?sinBcosB=3sinBcosC+3sinCcosB?c?sinBcosB=3sinCcosB∵，∴cosB≠0，∴c?sinB=3sinC．正弦定理可得：bsinC=3sinC，∴b=3（2）由（1）得b=3，B=，∴0＜A+C正弦定理可得：a=2sinA，c=2sinC，那么：△ABC周长l=3+2（sinA+sinC）=3[sinA+sin（﹣A）]=3[sinA+sincosA﹣sinAcos）]=[sinA+cosA]=sinA+3cosA+3=6sin（A+）+3，∵∴＜A+＜sin（A+）∈（，1]∴△ABC周长的范围是（6，9]21.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面,点是的中点,是的中点．

(1)求证：∥平面；

(2)求证：参考答案：(1)证明：取中点为，连

∵是的中点

∴是的中位线,∴

∵是中点且是菱形，，∴.∴

∴四边形是平行四边形.

从而,

∵平面,平面,

∴

∥平面

…………6分(2)证明：连结

∵底面是菱形，

∴是等边三角形

∵是的中

∴

∵平面,

∴

∴

∵

∴…12分22.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．（1）若直线AB过焦点F，求|AF|?|BF|的值；（2）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．参考答案：【分析】（1）求出p=4，可得抛物线方程，与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）求解即可．（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过△＞0，以及韦达定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p），方法一利用弦长公式，求出p．方法二：通过化简，结合韦达定理，求解p即可．【解答】解：（1）∵F（0，2），p=4，∴抛物线方程为x2=8y，…与直线y=2x+2联立消去y得：x2﹣16x﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）…则x1+x2=16，x1x2=﹣16，…∴|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）=（2x1+4）（2x2+4）=80；…（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x