上海市南汇区第一中学2022年高三数学理期末试题含解析

上海市南汇区第一中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，则的单调减区间（▲）A.

B.，

C.

D.参考答案：A略2.已知向量=(2cosα，2sinα)，=(3cosβ，3sinβ)，若与的夹角为60°，则直线2xcosα－2ysinα＋1=0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2=1的位置关系是（

）A．相交但不过圆心

B．相交且过圆心

C．相切

D．相离参考答案：C略3.已知，不等式的解集是，则满足的关系是(

)A．

B．

C．

D．的关系不能确定参考答案：B4.已知等差数列{an}的公差为2，若成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则等于(

)A.-8 B.-6 C.0 D.10参考答案：C分析：由成等比数列，可得再利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出．详解：∵4成等比数列，∴，化为解得则故选D．点睛：本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设a、b、c大于0，则3个数a+,b+,c+的值（）A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2参考答案：D6.若夹角为30°，则的值为

（

）

A．B．C．

D．参考答案：C7.“”是“函数有零点”的．A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A8.若的最小值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A因为函数的最小值为，选A.9.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A． B．﹣ C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2，得，解得：．∴．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．10.设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|z?|=（）A．1 B． C．2 D．参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵z=﹣1﹣i（i为虚数单位），∴=﹣1+i，则|z?|=|（﹣1）2+12|=2．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以坐标原点O为圆心，且与直线x+y+2=0相切的圆方程是

，圆O与圆x2+y2﹣2y﹣3=0的位置关系是．参考答案：x2+y2=2；相交．【考点】圆的切线方程．【分析】由坐标原点为所求圆的圆心，且所求圆与已知直线垂直，利用点到直线的距离公式求出原点到已知直线的距离d，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到所求圆的半径r，根据圆心和半径写出所求圆的方程即可；由两圆的圆心距为1，介于半径差与和之间，可得两圆相交．【解答】解：∵原点为所求圆的圆心，且所求圆与直线x+y+2=0相切，∴所求圆的半径r=d==，则所求圆的方程为x2+y2=2．x2+y2﹣2y﹣3=0的圆心为（0，1），半径为2，两圆的圆心距为1，介于半径差与和之间，两圆相交．故答案为：x2+y2=2；相交．12.设a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.已知，，且，则a=______.参考答案：2【分析】利用正弦定理角化边公式化简，再运用余弦定理得出，即可求出.【详解】因为，所以，又，，所以，所以，则，解得.故答案为：2.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.13.设，则函数的最大值是__________。参考答案：

解析：，即14.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3=9种，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．由此能求出甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率．【解答】解：甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3=9（种），其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3（种）．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P==．故答案为：．15.记max{p，q}=，记M（x，y）=max{｜x2+y+1｜，｜y2﹣x+1）｜}，其中x，y∈R，则M（x，y）的最小值是

．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得M（x，y）≥｜x2+y+1｜，M（x，y）≥｜y2﹣x+1｜，两式相加，根据绝对值不等式的性质和配方法，即可得最小值．【解答】解：∵M（x，y）=max{｜x2+y+1｜，｜y2﹣x+1｜}，∴M（x，y）≥｜x2+y+1｜，M（x，y）≥｜y2﹣x+1｜，∴2M（x，y）≥｜x2+y+1｜+｜y2﹣x+1｜≥｜x2﹣x+y2+y+2｜=｜（x﹣）2+（y+）2+｜≥．∴M（x，y）≥．故答案为：．16.对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则

．参考答案：201717.如图所示一个几何体的三视图，则该几何体的体积为

参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×2×2=2，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

如图，正三棱柱中，，点D为的中点。(I)求证：平面；(II)求证：平面；

(Ⅲ)求异面直线与所成角的大小。参考答案：略19.设△ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A，B，C所对边长，并且.（1）求角A的值；（2）若参考答案：略20.（本小题满分13分）已知函数的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为。

（I）求的解析式及的值；

（II）若锐角满足的值。参考答案：略21.设关于的不等式的解集为，不等式的解集为.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.参考答案：【知识点】一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．A1E3【答案解析】（1）

（2）解析：（1）当时，解得0＜x＜5．

即，…4分

（2）

①当时，因为，所以．

因为，所以，解得；…6分

②若时，，显然有，所以成立；…8分

③若时，因为，所以．

又，因为，所以，解得．…10分

综上所述，的取值范围是．…12分【思路点拨】（1）当时，由