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上海市南汇区第一中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设函数,则的单调减区间(▲)A.
B.,
C.
D.参考答案:A略2.已知向量=(2cosα,2sinα),=(3cosβ,3sinβ),若与的夹角为60°,则直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1的位置关系是(
)A.相交但不过圆心
B.相交且过圆心
C.相切
D.相离参考答案:C略3.已知,不等式的解集是,则满足的关系是(
)A.
B.
C.
D.的关系不能确定参考答案:B4.已知等差数列{an}的公差为2,若成等比数列,Sn是{an}的前n项和,则等于(
)A.-8 B.-6 C.0 D.10参考答案:C分析:由成等比数列,可得再利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出.详解:∵4成等比数列,∴,化为解得则故选D.点睛:本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5.设a、b、c大于0,则3个数a+,b+,c+的值()A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2参考答案:D6.若夹角为30°,则的值为
(
)
A.B.C.
D.参考答案:C7.“”是“函数有零点”的.A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:A8.若的最小值为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A因为函数的最小值为,选A.9.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=()A. B.﹣ C.2 D.﹣2参考答案:A【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】设出等比数列的公比,由已知列式求出首项和公比的平方,然后代入等比数列的通项公式求得a5.【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,由S3=a2+5a1,a7=2,得,解得:.∴.故选:A.【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n项和,是基础的计算题.10.设复数z=﹣1﹣i(i为虚数单位),z的共轭复数为,则|z?|=()A.1 B. C.2 D.参考答案:C【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.【解答】解:∵z=﹣1﹣i(i为虚数单位),∴=﹣1+i,则|z?|=|(﹣1)2+12|=2.故选:C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以坐标原点O为圆心,且与直线x+y+2=0相切的圆方程是
,圆O与圆x2+y2﹣2y﹣3=0的位置关系是.参考答案:x2+y2=2;相交.【考点】圆的切线方程.【分析】由坐标原点为所求圆的圆心,且所求圆与已知直线垂直,利用点到直线的距离公式求出原点到已知直线的距离d,根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,即可得到所求圆的半径r,根据圆心和半径写出所求圆的方程即可;由两圆的圆心距为1,介于半径差与和之间,可得两圆相交.【解答】解:∵原点为所求圆的圆心,且所求圆与直线x+y+2=0相切,∴所求圆的半径r=d==,则所求圆的方程为x2+y2=2.x2+y2﹣2y﹣3=0的圆心为(0,1),半径为2,两圆的圆心距为1,介于半径差与和之间,两圆相交.故答案为:x2+y2=2;相交.12.设a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.已知,,且,则a=______.参考答案:2【分析】利用正弦定理角化边公式化简,再运用余弦定理得出,即可求出.【详解】因为,所以,又,,所以,所以,则,解得.故答案为:2.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.13.设,则函数的最大值是__________。参考答案:
解析:,即14.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.参考答案:【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3=9种,其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种.由此能求出甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率.【解答】解:甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3=9(种),其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种).故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P==.故答案为:.15.记max{p,q}=,记M(x,y)=max{|x2+y+1|,|y2﹣x+1)|},其中x,y∈R,则M(x,y)的最小值是
.参考答案:【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】由题意可得M(x,y)≥|x2+y+1|,M(x,y)≥|y2﹣x+1|,两式相加,根据绝对值不等式的性质和配方法,即可得最小值.【解答】解:∵M(x,y)=max{|x2+y+1|,|y2﹣x+1|},∴M(x,y)≥|x2+y+1|,M(x,y)≥|y2﹣x+1|,∴2M(x,y)≥|x2+y+1|+|y2﹣x+1|≥|x2﹣x+y2+y+2|=|(x﹣)2+(y+)2+|≥.∴M(x,y)≥.故答案为:.16.对于三次函数,给出定义:设是的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则
.参考答案:201717.如图所示一个几何体的三视图,则该几何体的体积为
参考答案:【考点】由三视图求面积、体积.【专题】空间位置关系与距离.【分析】由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,计算出底面面积和高,代入锥体体积公式,可得答案.【解答】解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,棱锥的底面面积S=×2×2=2,棱锥的高h=2,故棱锥的体积V==,故答案为:.【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.
如图,正三棱柱中,,点D为的中点。(I)求证:平面;(II)求证:平面;
(Ⅲ)求异面直线与所成角的大小。参考答案:略19.设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且.(1)求角A的值;(2)若参考答案:略20.(本小题满分13分)已知函数的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为。
(I)求的解析式及的值;
(II)若锐角满足的值。参考答案:略21.设关于的不等式的解集为,不等式的解集为.(1)当时,求集合;(2)若,求实数的取值范围.参考答案:【知识点】一元二次不等式的解法;集合关系中的参数取值问题.A1E3【答案解析】(1)
(2)解析:(1)当时,解得0<x<5.
即,…4分
(2)
①当时,因为,所以.
因为,所以,解得;…6分
②若时,,显然有,所以成立;…8分
③若时,因为,所以.
又,因为,所以,解得.…10分
综上所述,的取值范围是.…12分【思路点拨】(1)当时,由
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