上海市施湾中学2021年高一数学理月考试题含解析

上海市施湾中学2021年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在是单调递减的，则实数的取值范围为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A2.函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2参考答案：A【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GS：二倍角的正弦；GT：二倍角的余弦；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A3.下列命题中正确的是（

）A．，

B．

C．

D．参考答案：C因为，，所以A错；因为，所以B错；因为，所以C对；因为，所以D错；

4.如图,函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜)的图象过点(,0)和(0,),可将y=f(x)的图象向右平移（）单位后,得到一个奇函数. A. B. C. D.参考答案：B略5.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，则

②若，，，则

③若，，则

④若，，则

其中正确命题的序号是

(

)A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．①和④参考答案：A6.若变量满足约束条件,则的最大值是

（）A． B． C．

D．参考答案：C7.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲乙下成和棋的概率为（）A．70% B．30% C．20% D．50%参考答案：D【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用对立事件概率计算公式求解．【解答】解：∵甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，∴甲乙下成和棋的概率为：p=80%﹣30%=50%．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8.（5分）函数f（x）=+log2（x+2）的定义域是（） A． （﹣2，1）∪（1，4] B． [﹣2，1）∪（1，4] C． （﹣2，4） D． （0，1）∪（1，4]参考答案：A考点： 函数的定义域及其求法．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答： 要使函数有意义，则，即，解得﹣2＜x≤4且x≠1，故函数的定义域为（﹣2，1）∪（1，4]，故选：A点评： 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．9.已知图是函数的图象上的一段，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略10.（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A． y=﹣ln|x| B． y=x|x| C． y=﹣x2 D． y=10|x|参考答案：D考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可．解答： 对于A、因为函数y=lnx在区间（0，+∞）上单调递增，所以y=﹣ln|x|在区间（0，+∞）上单调递减，A不符合题意；对于B、函数y=x|x|的定义域是R，但f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），所以函数y=x|x|是奇函数，B不符合题意；对于C、函数y=﹣x2在区间（0，+∞）上单调递减，C不符合题意；对于D、函数y=10|x|的定义域是R，且f（﹣x）=10|﹣x|=10|x|=f（x），所以函数y=10|x|是偶函数，当x＞0时，y=10|x|=10x在区间（0，+∞）上单调递增，D符合题意；故选：D．点评： 本题考查函数奇偶性的定义，以及基本初等函数的单调性，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算：

参考答案：12.执行如图所示的程序框图，则输出的k=_________.参考答案：4【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件即可.【详解】第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；此时.故退出循环，输出.【点睛】本题考查程序框图，解题时只要模拟程序运行，观察其中变量值的变化情况，进行判断．13.已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足：x＞0，都有f（f（x）﹣log3x）=4成立，则f（9）=．参考答案：5【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】设f（x）﹣log3x=t，根据条件求出函数f（x）的表达式，继而求出f（9）的值．【解答】解：设f（x）﹣log3x=t，则f（x）=log3x+t，且f（t）=4，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∴t是常数，则f（t）=log3t+t=4，解得t=3，即f（x）=log3x+3，∴f（9）=log39+3=5，故答案为：5．【点评】本题考查与对数有关的复合函数的性质，值域求解．利用待定系数法先求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．14.关于x的不等式的解集为_________．参考答案：【分析】根据指数函数的单调性得到原不等式等价于，解出即可.【详解】关于的不等式,根据指数函数的单调性得到只需要满足.故答案为：.【点睛】这个题目考查了指数函数的单调性的应用，以及二次不等式的解法；属于基础题。15.如图,在△ABC中,D是边BC上一点，,，则

.

参考答案：16.５０名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有４０人，智能优秀的有３１人，两项都不优秀的有４人，问这种测验都优秀的有人。参考答案：2517.若函数f（x）=x2﹣2x（x∈[2，4]），则f（x）的最小值是

．参考答案：0【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】计算题．【分析】先判断函数f（x）在[2，4]上的单调性，由单调性即可求得其最小值．【解答】解：f（x））=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，其图象开口向上，对称抽为：x=1，所以函数f（x）在[2，4]上单调递增，所以f（x）的最小值为：f（2）=22﹣2×2=0．故答案为：0．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=log2（2+x）+log2（2﹣x）．（Ⅰ）求证：函数f（x）为偶函数；（Ⅱ）求的值．参考答案：【考点】对数函数的图象与性质；函数的值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，再根据偶函数的定义即可证明，（Ⅱ）代入求值即可．【解答】证明：（Ⅰ）

解得﹣2＜x＜2∴f（x）的定义域为（﹣2，2）又当x∈（﹣2，2）时，有﹣x∈（﹣2，2），f（﹣x）=log2（2﹣x）+log2（2+x）=f（x）．∴f（x）为偶函数．（Ⅱ）f（x）=log2（2+x）+log2（2﹣x）=log2（4﹣x2），∴f（）=log2（4﹣3）=0．【点评】本题考查了偶函数的定义以及对数函数的运算性质，属于基础题．19.（本小题满分12分）

如图，正四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长是底面边长为倍，为底面对角线的交点，为侧棱上的点。（1）求证：；（2）为的中点，若平面，求证：平面。参考答案：证明：（Ⅰ）连接SO,,,

又

又,

,

5分又,

.

7分（Ⅱ）连接OP,

,

,

9分

又,

,

因为，所以∥,

11分

又平面PAC，

∥平面PAC.

13分20.已知函数f(x)＝3x＋2，x∈[－1,2]，证明该函数的单调性并求出其最大值和最小值．参考答案：解：设x1，x2是区间[－1,2]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝3x1＋2－3x2－2＝3(x1－x2)．由x1<x2，得x1－x2<0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以，函数f(x)＝3x＋2是区间[－1,2]上的增函数．因此，函数f(x)＝3x＋2在区间[－1,2]的两个端点上分别取得最小值与最大值，即在x＝－1时取得最小值，最小值是－1，在x＝2时取得最大值，最大值是8.21.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）若锐角的三个角满足，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）令所以函数的单调增区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，锐角中：.于是：由锐角三角形知，故所以的取值范围是.22.(13分)已知函数=loga(a＞0且a≠1)是奇函数（1）求，（(2)讨论在(1,+∞)上的单调性,并予以证明参考答案：（1）（2）当a＞1时,f(x)=loga在(1,+∞)上为减函数;当0＜a＜1时,f(x)=loga在(1,+∞)上为增函数（1）（2）设u=,任取x2＞x1＞1,