上海市少云中学2022年高三数学理期末试卷含解析

上海市少云中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数（为虚数单位）则复数在复平面对应的点位于（

）．A．第一象限

B．第二象限

C第三象限

D．第四象限

参考答案：B略2.在中，已知是边上的一点，若，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B因为,所以,又,所以。3.若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条（

）A.1条

B.2条

C.3条

D.以上都有可能参考答案：B略4.已知，其中在第二象限，则．

．

．

．参考答案：，在第二象限，，故5.“0≤m≤l”是“函数有零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需，故选A．6.已知a、b、c为三条不重合的直线，下面结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为()A.0个

B.1个

C.2个

D.3个参考答案：B略7.已知(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：答案：C解析：，由、是实数，得∴，故选择C。【名师点拔】一个复数为实数的充要条件是虚部为0。【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。8.设为等比数列的前项和，已知，，则公比 （

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B略9.在圆锥PO中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（

）①圆的面积为4π；

②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角正切值为

④抛物线中焦点到准线的距离为.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个参考答案：B【分析】根据点是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④.【详解】①点是母线的中点，截面的半径，因此面积，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为，故②正确；③在与底面、平面的垂直且过点的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为，则，即，把点代入可得，解得，设双曲线两渐近线的夹角为，，，因比双曲线两渐近线的夹角为，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为,把点代入可得，解得，抛物线中焦点到准线的距离为，④不正确，故选B.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A．80

B．120

C．140

D．50参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），=2+m，若点P在y袖上，则实数m=．参考答案：【分析】利用坐标来表示平面向量的运算，又因为点P在y轴上，所以它的横坐标为0，从而得到答案．【解答】解：∵O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），∴=（﹣1，3），=（3，﹣7），∵P在y袖上，∴可设=（0，y），∵=2+m，∴（0，y）=2（﹣1，3）+m（3，﹣7）=（3m﹣2，6﹣7m），∴3m﹣2=0，解得m=【点评】本题考查了利用坐标来表示平面向量的运算，属于最基本的题目．12.将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称，则的值为____________．参考答案：试题分析：函数的图象向右平移个单位后，所得函数解析式为，由其函数图象关于轴对称，则，又，所以.考点：三角函数图象变换与性质．13.△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为

．参考答案：14.等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn=b（﹣2）n﹣1﹣a，则=．参考答案：﹣

【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出．【解答】解：n=1时，a1=b﹣a．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，上式对于n=1时也成立，可得：b﹣a=b+．则=﹣．故答案为：﹣．15.在中，已知，则=

.参考答案：16.已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则的范围为_________。参考答案：17.已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为_______.参考答案：2【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又由，即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率，显然直线的斜率最大，又由，解得，则，所以的最大值为2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=ax﹣sinx，x∈[0，π]．（1）当a=时，求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≤1﹣cosx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；作图题；数形结合；导数的综合应用．【分析】（1）当a=时，f（x）=x﹣sinx，x∈[0，π]，从而求导f′（x）=﹣cosx，从而判断函数的单调性；（2）化简可得ax﹣sinx≤1﹣cosx，作函数y=ax﹣1与函数y=sinx﹣cosx的图象，结合图象求解即可．【解答】解：（1）当a=时，f（x）=x﹣sinx，x∈[0，π]，f′（x）=﹣cosx，故x∈[0，）时，f′（x）＜0，x∈（，π]时，f′（x）＞0；故f（x）在[0，）上是减函数，在[，π]上是增函数；（2）由题意得，ax﹣sinx≤1﹣cosx，故ax﹣1≤sinx﹣cosx，作函数y=ax﹣1与函数y=sinx﹣cosx的图象如图，结合图象可得，a≤=；故实数a的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．19.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，内接于圆，平分交圆于点，过点作圆的切线交直线于点.（1）求证：；（2）求证：.参考答案：（1）∵BE为圆O的切线∠EBD=∠BAD

………………2分又∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∴∠EBD=∠CAD

………………4分又∵∠CBD=∠CAD

∴∠EBD=∠CBD

………………5分（2）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB∴△EBD∽△EAB

………………7分∴

∴AB?BE=AE?BD

………………9分又∵AD平分∠BAC

∴BD=DC

故AB?BE=AE?DC

………………10分20.已知圆，圆的切线与抛物线交于不同的两点（1）当直线的斜率为1时，求线段的长；（2）设点和点关于直线对称，问是否存在直线，使得?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。参考答案：.略21.（本题满分14分）已知函数(m≥1)（1）若曲线C:在点P处的切线与C有且只有一个公共点，求m的值。（2）求证：存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围。参考答案：解：（1）的定义域为

在点P处的切线的方程为：

由题意有且只有一个实根

即：有且只有一个实数根

…..2分

显然是方程的一个根

令

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①

当时，（仅时取“=”）在单调递增是方程的唯一一个实数根

（4分）②

当时，令，得，当x变化时，的变化情况如下表：0+0-0+0又当时，高考资源网w。w-w*k&s%5￥u在及处均有一个根，不合题意………6分综上，m=1.

…………7分

(2)=

令

9分

又的对称轴且

在内有两个不同实根高考资源网w。w-w*k&s%5￥u

即的解集为

有单调递减区间

………11分

………….13分

的递减区间的长度范围为

………14分.略22.（12分）如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q.（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.

参考答案：解析：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，∴点P坐标为（2，2）.由

，

①

得，

∴过点P的切线的斜率=2，直线l的斜率kl=－=

∴直线l的方程为y－2=－(x－2)，即x+2y－6=0.（Ⅱ）设∵过点P的切线斜率

=x0，当x0=0时不合题意，

∴直线l的斜率kl=