上海市嘉定区南翔中学2023年高二数学理期末试卷含解析

上海市嘉定区南翔中学2023年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是 （）A． B．C． D．参考答案：C略2.记Ⅰ为虚数集，设，，则下列类比所得的结论正确的是（

）A．由，类比得B．由，类比得C.由，类比得D．由，类比得参考答案：C3.已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（

）A．4

B．5

C．

D．参考答案：C4.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是(

)A.1，－1 B.3，-17 C.1，－17 D.9，－19参考答案：B试题分析：求导，用导研究函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．解：f′（x）=3x2﹣3=0，x=±1，故函数f（x）=x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数又f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=3．故最大值、最小值分别为3，﹣17；故选C．5.点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离是（

）A. B. C. D.参考答案：B将直线4x＋4y＋1＝0平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1?x0＝或x0＝－1(舍去)，∴P，所求的最短距离即为点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝＝(1＋ln2)．故选B.6.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣2 D．﹣1参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，显然直线过A（﹣2，2）时z最小，求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（﹣2，2），由z=3x﹣y得y=3x﹣z，显然直线过A（﹣2，2）时z最小，z的最小值是﹣8，故选：A．【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．7.为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50 B．45 C．40 D．20参考答案：B【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用分层抽样性质求解．【解答】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，∴由分层抽样性质，得：，解得n=45．故选：B．【点评】本题考查样本容量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．8.函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16参考答案：A【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间上最大值与最小值分别是5，﹣15故选A【点评】本题考查用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值，利用单调性研究函数的最值，是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤．9.如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是(

)A． B． C．ab＞b2 D．a2＞ab参考答案：B【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由a＞b＞0，可得ab＞0且a2＞b2＞0，利用不等式的性质2“不等式的两边同乘（除）一个正数，不等号方向不变”，逐一分析四个答案的正误，可得答案【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞0∴，即，故A答案正确；∴a2＞b2＞0，即＞，即，故B答案正确；∴ab＞b2，故C答案正确；∴a2＞ab，故D答案正确；故不等式中不正确的是B故选B【点评】本题考查的知识点是不等式与不等关系，熟练掌握不等式的性质是解答的关键．10.方程的两个根可分别作为（）

Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率

Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率

Ｄ．两椭圆的离心率参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a＞0且a≠1，关于x的方程|ax﹣1|=5a﹣4有两个相异实根，则a的取值范围是．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】先画出a＞1和0＜a＜1时的两种图象，根据图象可直接得出答案．【解答】解：据题意，函数y=|ax﹣1|（a＞0，a≠1）的图象与直线y=5a﹣4有两个不同的交点．当a＞1时，0＜5a﹣4＜1，所以a∈（，1），舍去．当0＜a＜1时由图知，0＜5a﹣4＜1，所以a∈（，1），故答案为：．12.设复数，，在复平面上所对应点在直线上，则=

。参考答案：13.双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是．参考答案：y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．【解答】解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理得．故答案为．14.已知数列的各项如下：…,求它的前n项和Sn=

；参考答案：

15.不等式ax+bx+c＞0，解集区间（-，2），对于系数a、b、c，则有如下结论：①

a＞0

②b＞0

③c＞0④a+b+c＞0

⑤a–b+c＞0，其中正确的结论的序号是________________________________.参考答案：

2、3、416.底面半径为1高为3的圆锥的体积为

．参考答案：π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的体积公式，能求出结果．【解答】解：底面半径为1高为3的圆锥的体积为：V==π．故答案为：π．17.与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 或

．参考答案：，解析：由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、

为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上．所以轨迹方程为

，或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在等差数列{an}中，已知a1=3，a4=12（1）求数列{an}的通项公式。（2）数列{bn}为等比数列，且b1=a2,b2=a4,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.参考答案：略19.(本小题满分14分)已知等差数列满足：，，的前项和为．(Ⅰ)求及；(Ⅱ)令，求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=。20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．⑴求函数f(x)的单调递减区间；⑵若，证明：．参考答案：解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－。由<0及x>－1，得x>0．∴当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，因此，当时，≤，即≤0∴．令，则＝．∴当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．∴当时，≥，即≥0，∴．综上可知，当时，有．略21.已知p：对任意实数x都有恒成立；q：关于x的方程有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．参考答案：对任意实数x都有x2＋x＋1>0恒成立?＝0或?0≤<4；

………2分关于x的方程x2－x＋＝0有实数根?1－4≥0?；

…………4分如果p真，且q假，有0≤<4，且，∴；

…………6分如果q真，且p假，有<0或≥4，且，∴<0.

…………8分综上，实数的取值范围为(－∞，0)∪.

…………10分22.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望