上海市嘉定区南翔中学2021年高三数学理月考试题含解析

上海市嘉定区南翔中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的最小值为0，则=

A．2

B．

C．

D．参考答案：C因为函数的最小值为，所以，，则2.若集合，，则=(A)

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.

设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（

）A.11

B.12

C.13

D.14参考答案：答案：A4.函数的部分图象如图所示，若，且，则A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()．A．－2

B．

C．1

D．0参考答案：A略6.若偶函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是A．

B．

C．

D．

参考答案：A略7.椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：D8.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为（

）A.

B.

C.

D.1参考答案：A9.若,则函数的两个零点分别位于区间(

)A和内

B.和内

C．和内D．和内参考答案：A略10.为虚数单位，则复数（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若双曲线C:（为常数）的一条渐近线与直线垂直，则双曲线C的焦距为

.参考答案：2【知识点】双曲线及其几何性质H6由于双曲线的一条渐近线与直线l：y=-3x-1垂直，则该条渐近线的斜率为，

双曲线C：mx2-y2=1的渐近线方程为y=±x，则有=，即有m=．

即双曲线方程为-y2=1．则c=，即有焦距为2．【思路点拨】运用两直线垂直的条件，即斜率之积为-1，求得渐近线的斜率，求出双曲线的渐近线方程，得到m的方程，解得m，再求c，即可得到焦距．12.等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k=________．参考答案：法1：有题意知,即，所以，又，所以。法2：利用方程组法求解。13.已知，且，则

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．参考答案：14.已知偶函数满足，且当时，，若在区间内，函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是

.参考答案：15.若等差数列满足，，则当________时的前

项和最大.参考答案：816.等比数列{an}的前n项和，则a=________．参考答案：117.已知函数的部分图象如图所示，则函数的最大值是

。参考答案：由图象，因为周期,所以，又图象经过点，所以,又因为，所以，所以，所以.所以，的最大值为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，,，为的中点．

(Ⅰ)求证：∥平面；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：证明：（Ⅰ）取DE中点N，连结MN，AN在中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN//CD，且又已知AB//CD，且，所以MN//AB，且MN=ABks5u所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM//AN；又因为平面BEC，且平面BEC所以MM//平面ADEF；…………6分（II）解：在矩形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以ED⊥平面ABCD，又AD⊥CD，所以，取D为原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，则D（0,0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，3）设为平面BEC的一个法向量。因为＝（－2，2，0），＝（0，－4，3），所以，令x＝1，得y＝1，z＝，所以，设DB与平面BEC所成角为α，则sinα=|cos|==所以，DB与平面BEC所成角的正弦值为．……………………13分

略19.选修4—1：几何证明选讲如图，已知直线与圆相切于点，经过点的割线交圆于点和点，∠的平分线分别交，于点和。（Ⅰ）证明：∠=∠；（Ⅱ）若,求的值。

参考答案：∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．

………9分在Rt△ABC中，=,∴=．

………10分

20.设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5}．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得

a≤﹣3，或a≥5．…21.如图所示，在四边形中，，且，，.（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）若，求的长.参考答案：（Ⅰ）因为，，所以.

（3分）因为，所以.

（5分）因为，所以△的面积.（7分）（Ⅱ）在△中，.所以.

（9分）因为，，

（11分）

所以.

所以.

（13分）22.（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图7，已知圆外有一点，作圆的切线，为切点，过的中点，作割线，交圆于、两点，连接并延长，交圆于点，连交圆于点，若．（1）求证：△∽△；（2）求证：四边形