江苏省常州市金坛市第一高级中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析

江苏省常州市金坛市第一高级中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义设，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积（

）A． B． C． D．参考答案：B由，得，则图象的交点为，∵∴根据对称性可得函数f(x)的图象与x轴、直线x=4所围成的封闭图形的面积为故选B

2.若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”。下列方程：①②③④对应的曲线中存在“自公切线”的有

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④参考答案：C3.已知A，B，C，D四点均在以点为球心的球面上，且，.若球在内且与平面BCD相切，则球直径的最大值为（

）A.1 B.2 C.4 D.8参考答案：D如图所示:取CD的中点O,连接AO,BO,如图，因为BC=BD=，,所以因为，所以AO⊥CD,且AO=2，又因为OD=4，BO=4，所以故AO⊥OB，又BO∩CD=O,所以AO⊥平面BCD,所以在AO上，连接,设则即解之得R=5，球的直径最大时，球与平面BCD相切且与球内切，A,O,四点共线，此时球的直径为R+=8.故选D.点睛：本题是一个难题，只有通过计算，认清以A,B,C,D为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心的位置，借助方程求出球的半径，直观判断球心的位置，才能迎刃而解.4.已知不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为，则a=（）A． B．3 C． D．2参考答案：A【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】画出约束条件表示的可行域，如图求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，列出关于a的方程，再求出a即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意B（2，0），A（x，y）不等式组所表示的平面区域的面积为：=∴y=，x=代入直线方程x+ay=2，∴a=故选A．5.已知函数y=f（x）是偶函数，且f（2）=5，那么f（2）+f（﹣2）的值为（）A．0 B．2 C．5 D．10参考答案：D考点： 函数奇偶性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用偶函数的性质直接求解即可．解答： 解：函数y=f（x）是偶函数，且f（2）=5，则f（﹣2）=5，那么f（2）+f（﹣2）=10．故选：D．点评： 本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力．6.中有一条对称轴是，则最大值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B方法一；

当时，平方得：

求得

得方法二：因为对称轴为

所以可知此时的导函数值为0

所以

所以

所以最大值注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为07.设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}参考答案：B【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，∴（CUA）∩B={4，6}．故选B8.若与都是非零向量，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C9.在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B略10.设，则（

）． A． B． C． D．参考答案：A∵，∴，∴选择．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以正四面体ABCD各棱中点为顶点的几何体的体积与该正四面体的体积之比为

参考答案：略12.不等式的解集为_____________.参考答案：略13.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比=

(用数值作答)．参考答案：14.已知，，则的最小值为▲

.参考答案：15.设

．

参考答案：略16.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝

参考答案：λ＝.17.如图，半径为2的⊙O中，,为的中点，的延长线交⊙O于点，则线段的长为_________

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知无穷数列的首项，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，.参考答案：（Ⅰ）证明：①当时显然成立；②假设当时不等式成立，即，那么当时，，所以，即时不等式也成立.综合①②可知，对任意成立.--------------------------------5分（Ⅱ），即，所以数列为递增数列。------------7分又，易知为递减数列，所以也为递减数列，所以当时，-------------------10分所以当时，------12分当时，，成立；当时，综上，对任意正整数，-----------------------------------------------------------------15分19.已知函数（）在处取得极值.（1）求、满足的关系式；（2）解关于的不等式.参考答案：（1），又由题意得，即、满足的关系式是.（2）由得，即，∴，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.20.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知f(x)=|x+1|－|ax－1|．⑴当a=1时，求不等式f(x)＞1的解集；⑵若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．参考答案：解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，a的取值范围为(0,2]．

21.已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求使函数f（x）取得最大值的x的集合．参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（I）利用二倍角公式化简，再代入周期公式即可；（II）令2x﹣=2kπ+得出x的集合．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x﹣）+1﹣cos（2x﹣）=2sin（2x﹣﹣）+1=2sin（2x﹣）+1∴T==π，（Ⅱ）当f（x）取最大值时，sin（2x﹣）=1，故2x﹣=2kπ+即x=kπ+，k∈Z．∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+，（k∈Z）}．22.（本小题满分12分）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC,AC⊥BC，E分别在线段B1C1上，B1E＝3EC1，AC=BC=CC1=4.（Ⅰ）求证：BC⊥AC1；（Ⅱ）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出点F的位置，并给出证明;若不存在，说明理由.参考答案：(1)∵AA1⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥AA1.（1分）又∵BC⊥AC，AA1，AC?面AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥面AA1C1C，（3分）又AC1?面AA1C1C，∴BC⊥AC1.（4分）(2)(法一)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.（7分）理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连结AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝A1C1，又AF∥A1C1且AF＝A1C1，∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，（10分）又EF?面A1ABB1，AG?面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）(法二)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.（9分）理由如下：在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于G，连