广东省江门市龙胜中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析

广东省江门市龙胜中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（理科）如果复数的实部和虚部互为相反数，则b的值等于（

）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：A略2.若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.如图1，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱底面，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A．16

B．

C．

D．参考答案：D该三棱柱的侧视图是长为4，宽为的矩形，故选D.4.用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．【解答】解：解法一：画出y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，当2≤x≤4时，f（x）=x+2，当x＞4时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故选B．解法二：由x+2﹣（10﹣x）=2x﹣8≥0，得x≥4．0＜x≤2时2^x﹣（x+2）≤0，2x≤2+x＜10﹣x，f（x）=2x；2＜x≤4时，x+2＜2x，x+2≤10﹣x，f（x）=x+2；由2x+x﹣10=0得x1≈2.84x＞x1时2x＞10﹣x，x＞4时x+2＞10﹣x，f（x）=10﹣x．综上，f（x）=∴f（x）max=f（4）=6．选B．5.把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为(

)A．y=cos2x B．y=﹣sin2x C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象周期变换法则，我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式．【解答】解：函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数y=sin2x的图象再把图象向左平移个单位，以得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象故选A【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键．6.直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是(

)

A．AB1∥平面BDC1

B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V＝4

D．直三棱柱的外接球的表面积为4π参考答案：D7.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在E上，，线段F2M交E于点Q，且，则E的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由得点M横坐标为代入求得纵坐标为又因为，所以代入双曲线中得，化简得，所以故选B

8.已知O是三角形ABC所在平面内的一点,D为BC边中点,且,那么(

)A、

B、

C、

D、参考答案：A略9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则公比q＝()参考答案：A试题分析：当时，满足；但时，，解得，故或，选A.考点：1.等比数列的通项与求和求解.

10.已知函数对任意，都有的图像关于对称，且则（）A.0 B. C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于实数，当时，规定，则不等式的解集为

.参考答案：略12.已知函数f（x）=axlnx+b（a，b∈R），若f（x）的图象在x=1处的切线方程为2x﹣y=0，则a+b=

．参考答案：4

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，由题意可得f（1）=2，f′（1）=2，计算即可得到所求．【解答】解：f（x）=axlnx+b的导数为f′（x）=a（1+lnx），由f（x）的图象在x=1处的切线方程为2x﹣y=0，易知f（1）=2，即b=2，f′（1）=2，即a=2，则a+b=4．故答案为：4．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键．13.已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么

参考答案：略14.曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②若点在曲线上，则；③若点在曲线上，则．其中，所有正确结论的字号是____________．参考答案：①②③点在曲线上，则有，化简得：．将换为，表达式不变，故①正确．∵，∴，，∴，∴，故②正确．∵，当时，，当时，，．∴，故③正确．综上所述，正确结论的序号是①②③．15.能说明“若a＞b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.参考答案：1

－1（答案不唯一）分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的a，b，根据不等式的性质，去特值即可.详解：使“若，则”为假命题则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足所以满足条件的一组a，b的值为1，－1（答案不唯一）

16.已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D17.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面⊥平面ABC；②BC∥平面；③三棱锥－DEF的体积最大值为；④动点在平面ABC上的射影在线段AF上；⑤直线DF与直线可能共面。其中正确的命题是＿＿＿＿＿（写出所有正确命题的编号）参考答案：①②③④①中由已知可得四边形是菱形，则，所以平面，所以面面，①正确；又∥，∴∥平面；，②正确；当面⊥面时，三棱锥的体积达到最大，最大值为，③正确；由面面，可知点在面上的射影在线段上，所以④正确；在旋转过程中与直线始终异面，⑤不正确．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）证明：C1F∥平面ABE；（2）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】转化思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明：C1F∥平面ABE；（2）根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P﹣B1C1F的体积．【解答】（1）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，而FM?面ABE，∴FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，∴C1M∥AE，而C1M?平面ABE，∴C1M∥平面ABE，∵C1M∩FM=M，∴平面FC1M?平面ABE，∵C1F?平面FC1M，∴C1F∥平面ABE，（2）取B1C1的中点H，连接EH，则EH∥AB，且EH=AB=FM，∵AB⊥平面BB1C1C，∴EH⊥平面BB1C1C，∵P是BE的中点，∴==．【点评】本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．19.随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率．（1）所得的三位数大于400；（2）所得的三位数是偶数．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．

【专题】概率与统计．【分析】（1）随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，先求出基本事件总数，再求出所得的三位数大于400包含的基本事件的个数，由此能求出所得的三位数大于400的概率．（2）随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，先求出基本事件总数，再求出所得的三位数是偶数包含的基本事件的个数，由此能求出所得的三位数是偶数的概率．【解答】解：（1）随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，基本事件总数n==6，所得的三位数大于400包含的基本事件的个数m1==4，∴所得的三位数大于400的概率p1==．（2）随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，基本事件总数n==6，所得的三位数是偶数包含的基本事件的个数m2==2，∴所得的三位数是偶数的概率p2===．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．20. 已知定义在上的函数，其中为大于零的常数．（Ⅰ）当时，令，求证：当时，（为自然对数的底数）；（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．参考答案：（Ⅱ），（*），令有-----------9分设方程（*）的两根为则，设----10分当时，为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或；当时，在上单调递减，最大值为，所以在上的最大值只能为或；又已知在处取得最大值，所以即解得，所以

略21.（13分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】：函数单调性的性质．【专题】：分类讨论；转化思想．【分析】：（1）由函数f（x）在[1，2]上是减函数得在[1，2]上恒成立，即有h（x）=2x2+ax﹣1≤0成立求解．（2）先假设存在实数a，求导得=，a在系数位置对它进行讨论，结合x∈（0，e]分当a≤0时，当时，当时三种情况进行．解：（1）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得（6分）（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=（7分）当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），∴g（x）无最小值．当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增∴，a=e2，满足条件．（11分）当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），∴f（x）无最小值．（13分）综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（14分）【点评】：本题主要考查转化化归、分类讨论等思想的应用，函数若为单调函数，则转化为不等式恒成立问题，解决时往往又转化求函数最值问题．22.某校高三年级发展均衡，各班均有学生50人，全校共有20个平行班级.随机选择一个班，将他们的期中数学考试成绩（折合成满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：[40,50),[50,60),……,[90,100],得到如图所示频率分布直方图

（1）请估计该校这20个班级中成绩不低于60分的人数；（2）为了帮助学生提高数学成绩，该班班主任决定成立“二帮一”小组：对成绩在[40,50)内的每位同学，从成绩在[90,100]中选两位同学对其数学学习提供帮助，各组成员没有重复.已知甲成绩为42分，乙成绩为95分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.参考答案：解：（1）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．由于该校高一年级共有学生50×20=100