二年级科学 机械制图点直线平面的投影

第2章点、直线、平面的投影《机械制图》2.1投影法及三视图资讯

日常生活中，当光线照射物体后就会在地面上产生影子，这便是投影的现象。

人们受到自然现象的启发并经过科学的抽象和总结，研究出工程上用于表达物体形状的投影法。投影法：投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。

图1生活中的投影现象资讯

图2生活中的影子需要说明的是：工程上应用的投影法虽然来源于生活，但经过科学的总结和抽象后与生活中的现象有着本质的区别。从图中可以领会到：

画物体的投影图实质上就是按照投影的方法画出物体上所有的轮廓线，可见的画成粗实线，不可见的轮廓线用虚线绘制。图3按投影法画出的投影图资讯

图2-1中心投影法图2-2用中心投影法绘制的建筑形体透视图2.1.1

投影法的分类1.中心投影法投射线从一点发出的投影法称为中心投影法。发出投射线的点即是投射中心。中心投影法的特点：②图形度量性差，即不能准确反映物体的真实形状和大小，因而在机械制图中较少使用。①图形立体感强，多用于表达建筑物的造型，如图2-2所示。资讯图2-3

斜投影法与斜轴测图2.平行投影法投射线相互平行的投影法称为平行投影法。

根据投射线与投影面的相对位置不同，平行投影法又分为斜投影法和正投影法。⑴

斜投影法

平行的投射线倾斜于投影面的投影方法。斜投影法主要用于绘制物体的斜轴测图，如图2-3所示。资讯(2)正投影法正投影法是平行的投射线垂直于投影面的投影方法。

正投影法可用于绘制物体的正轴测图和多面正投影图，如图2-4所示。图2-4正投影法、正轴测图和多面正投影图

由于用正投影法绘制的多面正投影图能够准确表达物体的空间形状，因而在工程上得到广泛的应用。

需要说明的是：正投影法是一种思维方法，学习时要充分发挥想象力，在脑海中建立起这种平行的并与投影面垂直的虚拟投射线。资讯2.1.2正投影的特性图2-5正投影的真实性1.真实性当一线段与投影面平行时，其正投影反映该线段的实际长度。当一平面图形与投影面平行时，其正投影反映该平面图形的实际形状。资讯图2-6正投影的积聚性2.积聚性当一线段与投影面垂直时，其正投影积聚为一点。当一平面图形与投影面垂直时其正投影积聚为一直线。资讯图2-7正投影的类似性3.类似性当一线段与投影面成倾斜时，其正投影缩短。当一平面图形与投影面成倾斜时，其正投影为缩小的类似图形。归纳正投影的三个特性如下：

①当几何要素与投影面平行时，其投影表现出真实性。

②当几何要素与投影面垂直时，其投影表现出积聚性。

③当几何要素与投影面倾斜时，其投影表现出类似性。资讯2.1.3

三视图的形成用正投影法将物体向投影面投射，所获得的投影称为视图。

下图是用正投影方法画出的三个不同形体的单面投影图，可以看到三个投影图的形状是相同的。

工程上为了准确表达物体的形状采用的是多面正投影图，三视图则是表达形体的一种基本方法。资讯图2-8八个分角1.三投影面体系

三个互相垂直的平面将空间分为八个部分，称为八个分角，如图2-8所示。图2-9三投影面体系

我国主要采用第一分角画法绘制物体的视图，第一分角三投影面体系如图2-9所示。资讯图2-9三投影面体系

正立投影面(简称正面)，用V表示。物体在V面上的投影称为主视图。1.三投影面体系

侧立投影面(简称侧面)，用W表示。物体在W面上的投影称为左视图。

水平投影面(简称水平面)，用H表示。物体在H面上的投影称为俯视图。⑴

三个投影面资讯图2-9三投影面体系

X投影轴：V与H面的交线，物体X轴方向的尺寸称为物体的长方向。1.三投影面体系

Z投影轴：

V

与W面的交线，物体Z轴方向的尺寸称为物体的高方向。

Y投影轴：

H与W面的交线，

物体Y轴方向的尺寸称为物体的宽方向。⑵三个投影轴投影面之间的交线称为投影轴。⑶投影原点三根投影轴交于一点O，称为投影原点。资讯2.三视图的形成

如图2-10所示，将物体放在三投影面体系中用正投影方法将其向各投影面投射，即可得到物体的三面视图。图2-10三视图的形成

画图时，需将相互垂直的三个投影面展平在同一平面上，规定：V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向后旋转90°，如图2-11所示。图2-11三投影面的展开资讯

需要注意的是，当H面和W面展开后Y轴被分成两条轴线，H面上的记做YH轴、W面上的记做YW轴。展开后的投影面如图2-12(a)所示。

为了简化作图，通常省去投影面边框及投影轴，如图2-12(b)所示。三个视图应按图示位置摆放，且不需标注视图的名称。图2-12展开后的三投影面及物体的三视图(a)展开后的三投影面(b)三视图资讯图2-13三视图度量的对应关系3.视图间的度量对应关系根据三视图的形成可以分析出：主视图反映物体长方向(OX)和高方向(OZ)的尺寸。俯视图反映物体长方向(OX)和宽方向(OY)的尺寸。左视图反映物体高方向(OZ)和宽方向(OY)的尺寸。视图之间的度量关系为：主视图、俯视图——长对正。主视图、左视图——高平齐。俯视图、左视图——宽相等。

上述关系统称为“三等关系”。

不论是整体还是局部，物体的三视图都应符合三等关系，在三等关系中，应注意理解俯视图和左视图“宽相等”的对应关系。

资讯4.视图间的方位对应关系主视图反映了物体的上、下和左、右方位，俯视图反映了左、右和前、后方位，左视图则反映了上、下和前、后方位。图2-13三视图的方位对应关系物体有上、下、前、后、左、右六个方位。资讯[例2-1]根据立体的主视图和俯视图画出该立体的左视图，如图2-14所示。图2-14补画左视图作图步骤：①根据给出的两面视图分析立体的空间形状，如图2-15所示。图2-15立体的空间形状与投影分析图2-16画出立体的左视图(a)(b)③整理图形，如图2-16(b)所示。②按主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等的投影对应关系作图，如图2-16(a)所示。资讯

2.在直观图上指明了三视图的投影方向，参照直观图补画视图中所缺的图线。⑴习题解答(P7)⑵资讯

1.在直观图上指明了三视图的投影方向，参照直观图补画视图中所缺的图线。⑴习题解答(P8)⑵⑶资讯

2.根据所给的两面视图，参照直观图画出第三视图。⑴习题解答(P8)⑵⑶2.2点的投影

资讯

点是最基本的几何元素。对于点的投影分析，及其投影规律和投影的作图方法是绘制直线、平面和立体投影图的重要基础。

图2-17

点的三面投影1.点的三面投影

如图2-17(a)所示，空间有一A点，将其分别向三个投影面投射(由点A分别向三个投影面作垂线)，即得A点的三面投影。

点的各投影的表示方法：V面投影记为a'，H面投影记为a，W面投影记为a"。将三投影面展开后便得到A点的三面投影图，如图2-17(b)所示。(a)(b)资讯2.点的投影与直角坐标的关系

为研究方便，可将三投影面体系视为一空间直角坐标系。因此，可用点的三个有序的坐标(X，Y，Z)表明其空间位置，例如B

(10，15，20)。

X坐标为点到W面的距离。

Y坐标为点到V面的距离。

Z坐标为点到H面的距离。

点的坐标实际上就是点到投影面的距离，即：

V面投影反映了点的X、Z坐标。

H面投影反映了点的X、Y坐标。

W面投影反映了点的Y、Z坐标。

图2-18

点的投影与直角坐标

点的任一投影均反映了该点的两个坐标，即：资讯3.点的投影规律

图2-17

点的三面投影①点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴。根据点的投影与直角坐标的关系，可得点的三面投影规律如下：③点的水平投影与侧面投影具有相同的Y坐标，即点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。②点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴。资讯4.各种位置点的投影图2-19

各种位置点及其投影①在空间，如下图所示的A点。②在投影面上，如下图所示的B、C点。③在投影轴上，如下图所示的D点。④在投影原点上。在三投影面体系中，点可位于以下不同的位置：

当点在投影面上时，该点的三个坐标中有一个坐标为0。当点的投影在Y轴上时，要注意分析应该是在YH轴上，还是在YW轴上。

投影原点上的点，其三个坐标均为0。

当点在投影轴上时，有两个坐标为0。资讯5.两点的相对位置图2-20

两点的相对位置两点的相对位置有上下、左右和前后之分。

在投影图中可用两点的坐标判断其相对位置，即Z坐标大的点在上方，X坐标大的点在左方，Y坐标大的点在前方。

根据以上所述可分析出图2-20中所示的C点在D点的上方、右方和后方。资讯图2-21

重影点及其可见性

若两个点在某一投影面上的投影重合为一点，则称为重影点，如图2-21所示。

重影点的坐标中有两个是相同的，作图时应注意判断重影点的可见性(不可见点的投影加括号表示)。(a)W面上的重影点(b)V面上的重影点(c)H面上的重影点资讯图2-22

补画点的第三投影(a)(b)[例2-2]如图2-22(a)所示，根据K点的V、W面投影，补出其水平投影。

可按点的三面投影规律，求出K点的水平投影。作图过程如图2-22(b)所示。作图分析：资讯图2-23作点的直观图(a)画出三个投影面(b)在三坐标轴上分别量取A点的坐标[例2-3]已知A点(25，20，16)，画出A点的直观图。作图步骤如图2-23所示。(c)画出A点的三面投影(d)画出空间的A点资讯习题解答（P9）1.已知A点的直观图、B（5，20，10）、C各点对各投影面的距离，作出各点的三面投影图及B、C点的直观图。距H面距V面距W面C20015资讯习题解答（P9）2.已知各点的三面投影，在下表中填写出各点的坐标值。距H面距V面距W面A20015B121324C02431资讯习题解答（P9）3.已知A、B和C点的两面投影，作出各点的第三面投影并判别点的相对位置。点A在点B之（上）、（后）、（左）点C在点B之（上）、（前）、（右）资讯习题解答（P9）4.已知B点在A点左方15，且XB=YB=ZB，C点比B点低10，且X坐标比点B大5，YC=XC，求作B、C两点的三面投影。资讯习题解答（P9）5.已知A点的三面投影，且B点在A点正右方15mm，求B点的三面投影,并判别重影点的可见性。资讯习题解答（P9）6.根据直观图，在三视图中分别标出A、B、C三点的投影。注：被积聚的点的投影也可不括，如图中的（a′）、（b″）。和（c′）。2.3直线的投影资讯

图2-24

直线的投影2.3.1直线的投影

由于两点可以确定一条直线，因此作直线投影的实质是作出直线上两点的投影图后，再连接此两点的各同面投影，便得到直线的三面投影图，如图2-24所示。直线的投影一般情况仍为直线。资讯

图2-25

直线与投影面的倾角2.3.2各种位置直线的投影

按直线与投影面的相对位置不同，可将直线分为一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线三类。其中，投影面平行线和投影面垂直线这两种类型的直线又统称为特殊位置直线。

直线与H、V、W三个投影面的倾角，分别用α、β、γ表示，如图2-25所示。1.一般位置直线

与三个投影面均成倾斜的直线，称为一般位置直线。图2-24中的AB直线即为一般位置直线。

三个投影均不能反映直线的实长，也不能反映α、β、γ角的实际大小。

三个投影都倾斜于投影轴。一般位置直线投影特点如下：资讯2.投影面平行线平行某一投影面，而倾斜于另两个投影面的直线，称为投影面平行线。根据定义，投影面平行线又有以下三种类型：

水平面平行线：简称水平线，即平行于H面，与V、W面倾斜的直线。

正面平行线：简称正平线，即平行于V面，与H、W面倾斜的直线。

侧面平行线：简称侧平线，即平行于W面，与V、H面倾斜的直线。资讯2.投影面平行线

在直线所平行的投影面上的投影，反映直线的实长。反映直线实长的投影与投影轴所夹的角度，等于空间直线对相应投影面的倾角。直线的另两投影平行于相应的投影轴，且投影的长度缩短。投影面平行线的投影特点如下：资讯3.投影面垂直线

垂直于某一投影面的直线，称为投影面垂直线。

正面垂直线：简称正垂线，即垂直于V面，与H、W面平行的直线。投影面垂直线又分为：

侧面垂直线：简称侧垂线，即垂直于W面，与V、H面平行的直线。

水平面垂直线：简称铅垂线，即垂直于H面，与V、W面平行的直线。资讯3.投影面垂直线

在直线所垂直的投影面上的投影积聚为一点。直线的另两投影平行于相应的投影轴，且投影反映实长。投影面垂直线的投影特点如下：资讯[例2-4]如图2-26(a)所示，试过C点作正平线CD，且CD长为12mm，α=30°。求CD直线的三面投影。

作图过程如图2-26(b)、(c)所示。(a)(b)(c)图2-26作正平线的投影图注：此题还有不同的解答。资讯AB线为()线[例]判断图中各直线的空间位置。CD线为()线EF线为()线GH线为()线KL线为()线MN线为()线ST线为()线正平侧平铅垂水平正垂侧垂一般位置资讯AB线为()线AC线为()线CE线为()线EF线为()线[例]试分析立体表面上各线段的空间位置。侧垂正垂正平一般位置资讯2.3.3点与直线

1.从属性若点从属于直线，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。

如图2-27所示，C点属于AB直线，其水平投影c从属于ab，正面投影c'

从属于a'b'

，侧面投影c"从属于a"b"

。图2-27从属于直线点的投影如点的各个投影从属于直线的同面投影，则该点必定属于此直线。资讯2.3.3点与直线

2.定比性从属于直线的点分割线段的长度比，等于其投影分割线段投影长度之比。

如图2-27所示，点C将线段AB分为AC和CB两段，则有AC:BC=ac:bc=a'c'

:b'c'

=

a"c"

:b"c"图2-27从属于直线点的投影根据定比性，可在直线的投影图中作出满足比值关系的点的投影。上面所示的比值关系称为定比性。资讯[例2-5]如图2-28(a)所示，已知侧平线MN的正面投影和水平面投影，以及属于MN直线的S点的正面投影，求S点的水平投影。(a)①过N点水平投影n作一辅助线，在辅助线上截取m'n'

、s'n'

长，如图2-28(b)所示；作图步骤：图2-28利用定比性求直线上点的投影(b)(c)②在水平投影图中，连接m'm，并过s'

作m'm连线的平行线，使其交于mn上的s点，s即为所求，如图2-28(c)所示。资讯2.3.4两直线的相对位置1.两直线平行

图2-29两直线平行两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况。两直线平行，其同面投影必定平行。如图2-29所示，AB∥

CD，反之，如果两直线的各同面投影都平行，则此两直线在空间一定平行。

根据上述结论，可以在投影图中作已知线段平行线的投影，也可用于判别投影图中给定的两直线是否平行。则

ab∥cd，a'b'∥c'd'，a"b"∥c"d"

。

资讯2.两直线相交图2-30两直线相交两直线相交，其同面投影必定相交且交点符合点的投影规律。

如图2-30所示，直线AB与CD相交，交点K为AB、CD两直线的共有点。因而，K点的各个投影必在直线AB和CD的同面投影上。

反之，若两直线的同面投影均相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线在空间必定相交。

根据上述结论，可在投影图中作相交直线的投影，也可判别投影图中给定的两直线是否相交。资讯3.两直线交叉图2-31两直线交叉若空间两直线既不平行也不相交，便是交叉的，即异面直线。

如图2-31(a)所示，尽管AB、CD两直线的水平投影相交，可从图2-31(b)看出，交叉两直线投影图中的交点，实际上是直线上重影点的投影。

对于交叉两直线上的重影点，可根据点的投影规律和坐标判别其可见性，如图2-31(c)所示。(a)(b)(c)资讯习题解答（P10）1.求作下列各直线的第三面投影，并判断各直线相对于投影面的空间位置。(1)(2)(3)AB为（水平）线CD为（正平）线EF为（侧平）线资讯习题解答（P10）1.求作下列各直线的第三面投影，并判断各直线相对于投影面的空间位置（续）。(4)(5)(6)GH为（侧垂）线MN为（铅垂）线KL为（一般位置）线资讯习题解答（P10）2.在直线AB上求一点C，使得AC︰CB=5︰2，作出点C的投影。（保留作图线）资讯习题解答（P10）3.根据直线段AB、CD的两面投影，分析判断AB、CD的空间位置，并补画其第三面投影。

AB为（水平）线CD为（侧垂）线AB为（一般位置）线CD为（侧垂）线资讯习题解答（P11）4.判别下列各图中两直线的相对位置(平行、相交、交叉)。AB、CD为（交叉）EF、GH为（相交）IJ、KL为（相交）(1)(2)(3)资讯习题解答（P11）4.判别下列各图中两直线的相对位置(平行、相交、交叉)。MN、PQ为（平行

）RS、TU为（交叉）WX、YZ为（交叉）(4)(5)(6)资讯习题解答（P11）5.判别交叉两直线的重影点及其可见性。资讯习题解答（P11）6.已知C′，作一铅垂线CD（距V面10，实长为20）的三面投影。资讯习题解答（P11）7.在三面视图上标注出直线AB、CD的另两面投影，并在直观图上标注出A、B、C、D点。2.4平面的投影资讯

图2-32用几何元素表示平面2.4.1平面的投影

在投影图中可用多种方法表示平面(实为有限的部分)的存在和位置。1.用几何元素表示

用几何元素表示平面，即是用通常意义上的点、线表示平面，如图2-32所示。(a)不在同一直线上的三点(b)一直线和线外一点(c)两相交直线(d)两平行直线(e)平面图形资讯

图2-33用迹线表示平面2.用迹线表示平面与投影面的交线称为平面的迹线。

图2-33中的P平面与H面的交线称为水平迹线，用PH表示；与V面的交线称为正面迹线，用PV表示；与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。资讯

图2-34一般位置平面2.4.2各种位置平面的投影

根据平面与投影面的相对位置不同，将平面分为一般位置平面，投影面平行面，投影面垂直面三种类型。投影面平行面和投影面垂直面又统称为特殊位置平面。平面与H、V、W三个投影面的倾角，分别用α、β、γ表示。1.一般位置平面与三个投影面均成倾斜的平面称为一般位置平面，如图2-34所示。

一般位置平面的投影特性：

三个投影均为缩小的类似图形；三个投影均不能反映α、β和γ角的实际大小。资讯2.投影面垂直面垂直于某一投影面，而倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面分为以下三种类型。

正面垂直面：简称正垂面，即垂直于V面，与H、W面倾斜的平面。

水平面垂直面：简称铅垂面，即垂直于H面，与V、W面倾斜的平面。

侧面垂直面：简称侧垂面，即垂直于W面，与V、H面倾斜的平面。资讯2.投影面垂直面

在平面所垂直的投影面上的投影，积聚为一直线，并可反映该平面与另两投影面倾角的实际大小。投影面垂直面的投影特点如下：

平面的另两投影为缩小的类似图形。资讯3.投影面平行面平行于某一投影面而与另两投影面垂直的平面，称为投影面平行面。投影面平行面可分为以下三种类型。

正面平行面：简称正平面，即平行于V面，与H、W面垂直的平面。

水平面平行面：简称水平面，即平行于H面，与V、W面垂直的平面。

侧面平行面：简称侧平面，即平行于W面，与V、H面垂直的平面。资讯3.投影面平行面投影面平行面的投影特点如下：

在平面所平行的投影面上的投影反映实形。

平面的另两投影积聚为直线，其投影平行于相应的投影轴。资讯[例2-6]根据平面的两面投影，补画其第三投影，如图2-35(a)所示。作图分析：该平面为一正垂面。补画平面的投影，实际上还是利用点的求作方法，即求得平面上各点的投影后，再依次连接各投影。作图过程如图2-35(b)、(c)、(d)所示。(a)补画平面的投影图

(b)作出各点的标记

(c)求作各点的投影

(d)整理图形

图2-35补画平面的第三投影资讯2.4.3平面内的点和直线图2-36

平面内的点和直线1.点在平面内的几何条件若点属于平面内的一直线，则该点必在此平面内，如图2-36(a)中所示的K点。

2.直线在平面内的几何条件

直线经过平面内的两点，如图2-36(b)中所示直线经过了平面内的E、F点。

直线经过平面内的一点，且平行于平面内的另一直线，如图2-36(b)中所示的AD直线。(a)

平面内的点根