高考数学综合复习：等差数列与等比数列的综合（含解析）

等差数列与等比数列的综合高考预测一：等差等比的证明1．已知数列和满足，，对都有，成立．（Ⅰ）证明：是等比数列，是等差数列；（Ⅱ）求和的通项公式；（3），，求证：．2．已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，，．（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．3．已知数列的前项和，其中．（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求．4．已知等比数列的公比．（1）若，求数列的前项和；（2）证明，对任意，，，成等差数列．高考预测二：等差等比的交汇问题5．在等差数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，求数列的前项和．6．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．（1）若，是否存在、，有？说明理由；（2）找出所有数列和，使对一切，，并说明理由；（3）若，，，试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明．7．已知数列中，，且且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．8．设数列的前项和为，，．（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案：高考预测一：等差等比的证明1．已知数列和满足，，对都有，成立．（Ⅰ）证明：是等比数列，是等差数列；（Ⅱ）求和的通项公式；（3），，求证：．【解析】证明：对都有，成立．，．．．数列是等比数列，公比为；是等差数列，公差为2．解：由可得：．．．．解：．，，．2．已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，，．（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【解析】（1）证明：，，即，数列是首项为，公比为3的等比数列，，即，（2）由（1）知，，又数列是首项为1的等差数列，的公差为1，，，，，，，．3．已知数列的前项和，其中．（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求．【解析】解：（1）根据题意，若，，．当时，，两式相减，得，即，，．．即，即，，是等比数列，公比，当时，，即，；（2）若，则，即，则，得．4．已知等比数列的公比．（1）若，求数列的前项和；（2）证明，对任意，，，成等差数列．【解析】（1）解：由，以及可得．数列的前项和．（2）证明：对任意，．把代入可得，故，故，，成等差数列．高考预测二：等差等比的交汇问题5．在等差数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，求数列的前项和．【解析】解：（1）设等差数列的公差为，，．，解得，．（2）由，得，数列中落入区间，内的项的个数，．6．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．（1）若，是否存在、，有？说明理由；（2）找出所有数列和，使对一切，，并说明理由；（3）若，，，试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明．【解析】解：（1）由，得，整理后，可得，、，为整数，不存在、，使等式成立．（2）设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即，，对都成立，若，则，，．若，则，（常数），即，则，矛盾．综上所述，有，，使对一切，．（3），，，设，、，．，，、，，取，，由二项展开式可得整数、，使得，，存在整数满足要求．故当且仅当，，命题成立．7．已知数列中，，且且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．【解析】解：（1）因为且,所以,则,上式对也成立，故；（2）等价为,数列的前项和为,令,其前项和为,则有,,,故,,,当时，,则有,综上可得,不等式成立的或2．8．设数列的前项和为，，．（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：由，得．当时，，