2022年福建省福州市私立超德高级中学高二数学理月考试题含解析

2022年福建省福州市私立超德高级中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如下图所示的程序框图中,输出S的值为（

）A.10

B.12

C.15

D.18

参考答案：C略2.已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为（）A． B． C． D．参考答案：C3.定积分等于

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=（）A．8 B．16 C．32 D．64参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得在点处的切线方程，可求三角形的面积，利用面积为9，即可求得a的值．【解答】解：求导数可得，所以在点处的切线方程为：，令x=0，得；令y=0，得x=3a．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积，解得a=16故选B．5.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在，N为B1B的中点，则为()参考答案：C6.设，则等于（）Ａ．1.6

Ｂ．3.2

Ｃ．6.4

Ｄ．12.8参考答案：C略7.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定参考答案：B【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．8.右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件i≤5，输出S的值，利用裂项法即可计算得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤5，执行循环体，S=，i=2满足条件i≤5，执行循环体，S=+，i=3满足条件i≤5，执行循环体，S=++，i=4满足条件i≤5，执行循环体，S=+++，i=5满足条件i≤5，执行循环体，S=++++，i=6不满足条件i≤5，退出循环，输出S的值．由于S=++++=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故选：B．10.若实数满足，则的最大值是(

)

A．0

B．1

C．

D．9参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题?x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是

．参考答案：?x∈R，x2﹣x+3≤0【考点】2J：命题的否定；2I：特称命题．【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定【解答】解：原命题为：?x∈R，x2﹣x+3＞0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：?x∈R，x2﹣x+3≤0故答案为：?x∈R，x2﹣x+3≤012.展开式中的系数为-___

_____.参考答案：3略13.命题“”的否定是“

”．

参考答案：，

略14.两条平行直线与间的距离为

▲

.参考答案：略15.求，则=______________.参考答案：-1略16.一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的表面积为

．参考答案：略17.▲．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列，计算，根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法给出证明.参考答案：解：……………2分

……………………4分

以下用数学归纳法证明这个猜想

……………………11分………………12分19.已知函数，．（Ⅰ）若函数在x=2处有极值，求m的值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅲ）求证：当时，对任意的，且，有。参考答案：(1)

函数在x=2处有极值，经检验符合题意。。………4分（3）当即时，为增函数；为减函数；为增函数．……9分

略20.(本小题满分12分)如图，多面体的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PAD.

参考答案：.证明：由多面体的三视图知，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等腰三角形，，且平面平面.…2分(I)连结，则是的中点，在△中，，………4分

且平面，平面，

∴∥平面

………6分(II)因为平面⊥平面，平面∩平面，

又⊥，所以，⊥平面，∴⊥

…………8分又，,所以△是等腰直角三角形，且，即………………10分

又，∴平面，又平面，所以

平面⊥平面

………………12分21.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能的产品供不应求.为适应市场需求，某企业投入万元引进环保节能生产设备，并马上投入生产.第一年需各种费用万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加万元．而每年因引入该设备可获得年利润为万元．请你根据以上数据，解决以下问题：（1）引进该设备多少年后，该厂开始盈利？（2）若干年后，因该设备老化，需处理老设备，引进新设备．该厂提出两种处理方案：第一种：年平均利润达到最大值时，以万元的价格卖出．第二种：盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出．问哪种方案较为合算？参考答案：解：（1）设引进该设备年后开始盈利.盈利额为万元．则，令，得，∵，∴.即引进该设备三年后开始盈利---7分（2）第一种：年平均盈利为，，当且仅当，即时，年平均利润最大，共盈利万元……11分第二种：盈利总额，当时，取得最大值，即经过年盈利总额最大，共计盈利万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，采用第一种方案

---14分

略22.已知函数f（x）=x3﹣2ax2﹣3x．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；（2）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a＞0时，试讨论f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；（Ⅱ）由题意：2ax2+1≥lnx，即，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以f′（x）=2x2﹣3又f（3）=9，f′（3）=15所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程为15x﹣y﹣36=0…（Ⅱ）由题意：2ax2+1≥lnx，即设，则当时，g'（x）＞0；当时，g′（x）＜0所以当时，g（x）取得最大值故实数a的取值范围为．…（Ⅲ）f′（x）=2x2﹣4ax﹣3，，①当时，∵∴存在x0∈（﹣1，1），使得f′（x0）=0因为f′（x）=2x2﹣4ax﹣3开口向上，所以在（﹣1，x0）内f′（x）＞0，在（x0，1）内f′（x）＜0即f（x）在（﹣1，x