2022湖南省常德市东江中学高一数学文联考试题含解析

2022湖南省常德市东江中学高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=，（x≠﹣）满足f[f（x）]=x，则常数c等于（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．5或﹣3参考答案：B【考点】函数的零点．【分析】利用已知函数满足f[f（x）]=x，可得x===，化为（2c+6）x2+（9﹣c2）x=0对于恒成立，即可得出．【解答】解：∵函数满足f[f（x）]=x，∴x===，化为（2c+6）x2+（9﹣c2）x=0对于恒成立，∴2c+6=9﹣c2=0，解得c=﹣3．故选B．2.满足，且的集合的个数是（

）A．1

B．3 C．2

D．4参考答案：C略3.函数的图象的大致形状是

（

）参考答案：D4.已知，如果＞1，则的取值范围是

(

)

A(-1,1)

B(-1,+∞)

C(-∞,-2)∪(0,+∞)

D(-∞,-1)∪(1,+∞)参考答案：D略5.已知那么的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是(

)．

A

B

C

D参考答案：A7.已知f（x）=是R上的增函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，5） C．（1，2] D．．参考答案：C【点评】1．本题考查了分段函数解析式、单调性及图象等，掌握基本函数的单调性（指数函数、一次函数的单调性）是解决本题的前提．2．本题易忽略条件“（5﹣a）×2﹣a≥a2”，从而误选B．从本题的解答过程可以看出，分段函数中“段”与“段”的分界点的重要性．8.若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为A. B. C. D.2参考答案：A，因为的最小值为，所以，所以，故选A．9.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A10.若，则的值为

（）

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f(x)=(a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a=参考答案：解析：由题设知f(0)=f(4)(a≠0),

∴(a≠0)0<=1(a≠0)4a－1=1或4a－1=－1(a≠0)a=即所求a=12.不等式的解集是_____．参考答案：【分析】直接利用一元二次不等式的解法求解。【详解】不等式可化为，解得；∴该不等式的解集是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，解题时先把不等式化简，再求解集，是基础题．13.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合，，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为

．参考答案：14.在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=x+y，则x+y=

．参考答案：﹣

【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由E是边AC的中点，=4，可得=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．故答案为：﹣．15.若函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣12，0）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，得到，解得即可．【解答】解：∵f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，即解得﹣12＜a＜0，故a的取值范围为（﹣12，0），故答案为：（﹣12，0）．【点评】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．16.数列的前项和，则

____________参考答案：略17.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x﹥0时,f(x)=x2+x+1,则x﹤0时,f(x)=___________。参考答案：－x2+x－1

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，且．（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）（Ⅰ）因为，且，所以．所以．

………4分

（Ⅱ）因为

．

所以．

………9分19.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB＝60°，SD垂直于底面ABCD，SB＝．

(1)求四棱锥S－ABCD的体积；(2)设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的余弦值．参考答案：(1);(2).【分析】（1）连结，易知BD为棱锥的高，结合棱锥的特征计算可得四棱锥的体积.（2）解法一：取中点，连结、，由几何体的特征可知为异面直线与所成的角，计算可得，即异面直线与所成的角的大小为.解法二：如图以为原点，建立空间直角坐标系，结合点的坐标可得，∵，，则，异面直线与所成的角的大小为.【详解】（1）连结，平面，平面，∴，为边长为1的菱形，且，∴，，∴，，∴，∴.（2）解法一：取中点，连结、，∴且，∴为异面直线与所成的角，又∵在中，，∴，同时，，∴为等边三角形，∴，即异面直线与所成的角的大小为.解法二：如图以为原点，建立空间直角坐标系，其中，设与交于点，则，∴，又，∴，即，∵，∴，∴，即异面直线与所成的角的大小为.【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，异面直线所成的角的计算，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.计算：(1)（2）已知

（其值用表示）

参考答案：解：(1)原式==

=

=

（2）=

21.已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）利用两个向量数量积的定义，求得的值，可得|+|=的值．（2）利用两个向量垂直的性质，可得（k+）?（k﹣）=k2?a2﹣=0，由此求得k的值．【解答】解：（1）||=1，||=2，若与的夹角θ=120°，则=1?2?cos120°=﹣1，∴|+|====．（2）∵（k+）⊥（k﹣），∴（k+）?（k﹣）=k2?﹣=k2﹣4=0，∴k=±2．22.已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴有交点；（2）当a＞0时，求函数y=的定义域；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）利用分类讨论思想证明函数与x轴的交点．（2）进一步利用分类讨论思想求函数的定义域．（3）根据方程有四个交点确定最后解不等式组求的结果．【解答】证明：（1）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．①当a=0时，f（x）=﹣x+1，则与x轴的交点坐标为：（1，0）；②当a＞0时，函数f（x）为开口方向向上的抛物线，则：△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≥0；③当a＜0时，函数f（x）为开口方向向下的抛物线，则：△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≥0；综上所述：函数f（x）的图象与x轴有交点；解：（2）当a＞0时，①当a=1时，=，所以x∈R；②当0＜a＜1时，=，则x的定义域为：{