2022广西壮族自治区桂林市永福县百寿中学高三数学文期末试题含解析

2022广西壮族自治区桂林市永福县百寿中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图像与函数的图像关于点A（0，1）对称，若，且在区间上为减函数，则实数a的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.对于任意给定的实数m，直线3x+y﹣m=0与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）最多有一个交点，则双曲线的离心率等于（） A． B． C． 3 D． 2参考答案：A3.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数（a>0,a≠1）的图象过区域M的的取值范围是

A．[1,3]

B．[，9]

C．[2,9]

D．[2,5]参考答案：D4.已知直线和平面，且在内的射影分别为直线和，则和的位置关系是A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面参考答案：D由题意，若，则利用线面平行的判定，可知，从而在内的射影直线和平行；若，则在内的射影直线和相交于点A；若，，且直线和垂直，则在内的射影直线和相交；否则直线和异面综上所述，和的位置关系是相交﹑平行或异面，选D．5.某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元参考答案：A【考点】函数的值．【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可．【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：，解得，∴f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A．6.已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解．欲求恰好落在阴影范围内的概率，只须求出阴影范围内的面积与正方形的面积比即可．为了求出阴影部分的面积，联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．【解答】解：联立得，解得或，设曲线与曲线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=而Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，∴Ω上随机投一点P，则点P落入区域A（阴影部分）中的概率P==，故选D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中利用积分公式，计算出阴影部分的面积是解答本题的关键．8.等于A.

B.

C.

D.参考答案：C9.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为(

)A. B.0 C. D.参考答案：D【分析】运用辅助角公式，化简函数解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的对称轴的方程为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，，所以，当时，的最小值，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.一个算法的程序框图如下图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（

）A.i≤5?

B.i≤4?

C.i≥4?

D.i≥5?参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x，y满足约束条件的最小值是

参考答案：略12.设全集为，集合，集合，则()=

参考答案：【知识点】交、并、补集的混合运算A1【答案解析】{x|3＜x＜4}解析：解：∵集合B={x|x﹣3≤0}={x|x≤3}，全集为R，∴RB={x|x＞3}，又∵A={x|1＜x＜4}，∴A∩（RB）={x|3＜x＜4}，故答案为：{x|3＜x＜4}【思路点拨】根据已知中，全集为R，集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x﹣3≤0}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案．13.某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，正视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积为

，表面积为．参考答案：；2+2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积．【解答】解：由三视图可知几何体是三棱锥，如图：是正方体内的三棱锥，AD=DC=2，AB=BC=AC=2，BD=2，几何体的体积是=，表面积为：=2+2．故答案为：；2+214.有以下四个命题①的最小值是②已知,则③在R上是增函数④函数的图象的一个对称中心是其中真命题的序号是___________(把你认为正确命题的序号都填上)参考答案：③④15.已知函数的定义域为，值域为，若区间的长度为，则的最小值为

▲

．参考答案：16.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．参考答案：16π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可知几何体上部是一个高为3圆锥，下部是一个高为3圆柱，底面半径都是2，根据柱体的体积公式得到结果．解答：解：根据三视图可知几何体上部是一个高为3圆锥，下部是一个高为3圆柱，底面半径都是2，∴几何体的体积是

×22×π×3+22×π×3=16π．故答案为：16π．点评：本题考查由三视图求几何体的体积和由三视图还原三视图，本题解题的关键是看清各部分的数据，这样计算就不会出错．17.不等式的解集为_____________．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取4个球,记取出白球的个数为X.（1）求X的分布列；（2）求参考答案：.解：（1）随机变量X所有的可能取值为2,3,4，则有，………1分

由此X的分布列为：X234P

………3分（2）

………6分19.(本题满分12分)已知抛物线的顶点是椭圆:的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.（Ⅰ）求抛物线的方程;（Ⅱ）设椭圆C的右准线交轴于点Q，过点Q的直线交抛物线于D、E两点。求面积的最小值；（Ⅲ）设、分别为椭圆C的左、右顶点,为右准线上不同于点Q的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、。求证：点在以为直径的圆内．参考答案：解:(1)由题意,可设抛物线方程为.

由,得.

抛物线的焦点为,.

抛物线的方程为.

…………4分(2)椭圆的右准线方程为，设直线的方程为，,.

联立,整理得:

当时，

…………8分(3)

A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）（－2<x0<2）.∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.

1又直线AP的方程为y＝，则P（4，）.

从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.

2将1代入2，化简得·＝（2－x0）.∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。…………12分20.设函数f（x）=a（x﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x，分类讨论，即可解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|，即可证明：．【解答】解：（I）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x当x≤﹣1时，得1﹣x﹣x﹣1≥3x?x≤0，∴x≤﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当﹣1＜x＜1时，得1﹣x+x+1≥3x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x≥1时，得x﹣1+x+1≥3x?x≤0，与x≥1矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上得原不等式的解集为=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）证明：|f（x2）+x|=|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵|a|≤1，|x|≤1∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时取“=”，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，得到情况如下表：

男公务员女公务员生二胎4020不生二胎2020（1）是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取3位30到40岁的男公务员，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望．附：K2=P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参考答案：【考点】独立性检验的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）计算K2＜3.841，可得结论．（2）男公务员生二胎的概率为=，X～B（3，），由此求得X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）由于K2===＜3.841，故没有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．（2）题意可得，男公务员生二胎的概率为=，X～B（3，），X的分布列为X0123PE（X）=3?=2．【点评】本题主要考查独立性的检验，离散型随机变量的分布列，属于基础题．22.（Ⅰ）求不等式|x﹣3|﹣2|x﹣1|≥﹣1的解集；（Ⅱ）已知a，b∈R*，a+b=1，求证：（a+）2+（b+）2≥．参考答案：【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可