2022年河南省南阳市固县中学高三数学理期末试题含解析

2022年河南省南阳市固县中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．2.已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为(

)A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B由题意得圆的圆心(0,0)到直线的距离为，故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以的元素个数为1．选B．

3.设集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|y=lg（﹣x）}，则A∩B=（）A．（0，1] B．[﹣1，0） C．[﹣1，0] D．（﹣∞，1]参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={y|y=sinx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，B={x|y=lg（﹣x）}={x|x＜0}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜0}=[﹣1，0）．故选：B．4.已知P（2，）在双曲线﹣=1上，其左、右焦点分别为F1、F2，三角形PF1F2的内切圆切x轴于点M，则?的值为（）A．2﹣1 B．2+1 C．2﹣2 D．2﹣参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=4，转化为|AF1|﹣|HF2|=4，从而求得点M的横坐标，即可得出结论．【解答】解：P（2，）在双曲线﹣=1上，可得b=，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），如图，设M（x，0），内切圆与x轴的切点是点M，PF1、PF2与内切圆的切点分别为N、H，∵由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=4，由圆的切线长定理知，|PN|=|PH|，故|NF1|﹣|HF2|=8，即|MF1|﹣|HF2|=4，设内切圆的圆心横坐标为x，则点M的横坐标为x，故（x+3）﹣（3﹣x）=4，∴x=2．∴?=（2﹣2，）?（3﹣2，0）=2﹣2，故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．5.实数a，b满足a?b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（）A.可能是等差数列，也可能是等比数列B.可能是等差数列，但不可能是等比数列C.不可能是等差数列，但可能是等比数列D.不可能是等差数列，也不可能是等比数列参考答案：B【分析】由实数a，b满足a?b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、、按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a＞b＞0则有a＞＞＞b若能构成等差数列，则a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a?b=，得，解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若b＜a＜0，则有若能构成等差数列，则，得2=3a-b于是b＜3a4ab=9a2-6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列．于是b=9a＜0，满足题意但此时?b＜0，a?＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．6.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（

）A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度参考答案：D7.设集合则A等于（

）

A．{1,2,5}

B．{l,2，4,5}

C．{1，4,5}

D．{1，2，4}参考答案：B当k=0时，x=1；当k=1时，x=2；当k=5时，x=4；当k=8时，x=5，故选B.8.（5分）a=20.3，b=0.32，c=log25，则a，b，c的大小关系为（） A． c＜b＜a B． b＜c＜a C． b＜a＜c D． a＜b＜c参考答案：C考点： 对数值大小的比较．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答： ∵1＜a=20.3＜2，b=0.32＜1，c=log25＞log24=2，∴b＜a＜c．故选：C．点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a），（例如a=746，则，）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=（）A.693 B.594 C.495 D.792参考答案：C【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．【详解】由程序框图知：例当a＝123，第一次循环a＝123，b＝321﹣123＝198；第二次循环a＝198，b＝981﹣189＝792；第三次循环a＝792，b＝972﹣279＝693；第四次循环a＝693，b＝963﹣369＝594；第五次循环a＝594，b＝954﹣459＝495；第六次循环a＝495，b＝954﹣459＝495，满足条件a＝b，跳出循环体，输出b＝495．故答案为：495．【点睛】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题．10.命题“，使得”的否定是（）A．

B．C．，

D．，

参考答案：A【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定为全称命题，

所以命题“，使得”的否定是：。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足不等式组则的最大值为__________参考答案：略12.设等差数列的前n项和为,若,则数列的通项公式

.参考答案：13.双曲线的渐近线方程为

.参考答案：14.从某地高中男生中随机抽取100名

同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[60,70），[70，80),[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为

参考答案：15.已知数列{an}中，，是数列{an}的前n项和，且对任意的，都有，则=_____参考答案：【分析】令，，，可知；假设，，利用可求得，得到和；根据可求得，进而得到.【详解】若，，，则令，则

，

经验证，时，满足综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查利用数列前项和求解数列通项的问题，关键是能够通过赋值的方式得到.16.已知直线和圆,则与直线和圆都相切且半径最小的圆的标准方程是_______________．

参考答案：圆C的标准方程为，圆心半径为。圆心C当直线的距离，则圆上的点到直线的最短距离为，要使圆与直线和圆都相切且半径最小，则圆的直径。所以所求圆心在直线上，且圆心到直线的距离为，解得圆心坐标为，所以圆的标准方程为。如图17.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．参考答案：4【考点】平面的基本性质及推论．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）当时，求曲线在点（1，）处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性.参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1）（2）当时，函数在单调递减，在上单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增；在上单调递减.（1）当时，即曲线在点处的切线斜率为0，又曲线在点处的切线方程为（2）∴令①当时，当时此时函数单调递减，当时此时函数单调递增，②当时，由即解得此时当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减.综上所述：当时，函数在单调递减，在上单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增；在上单调递减.【思路点拨】根据导数的意义求出切线方程，讨论参数的范围确定增减性。19.已知函数f（x）=|x﹣1|（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：．参考答案：考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；推理和证明．分析：（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，利用分段函数分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，?f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，要证该不等式成立，只需证明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可．解答： （Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣；当﹣3时，由﹣x+4≥8，解得x∈?；当x≥时，由3x+2≥8，解得x≥2…4分所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣或x≥2}…5分；（Ⅱ）证明：等价于f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|，因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立…10分．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．20.(t2分)如图，分别是三棱锥的棱的中点，过三点的平面交于。(Ⅰ)求证：四边形是平行四边形；(Ⅱ)已知，，试在棱上找一点，使平面平面，并说明理由。参考答案：解析：(Ⅰ)∵分别是的中点，∴且

……(1分)∵平面,平面∴平面

…………(2分)∵平面平面，平面∴

…………(4分)∵是的中点，∴是的中点．∴

………(5分)∴∴四边形是平行四边形

…………(6分)(Ⅱ)当时，平面平面

…(8分)在上取一点，连接当时，∵，∴

即当时，，

……(9分)∵，，∴平面

……(10分)∵∴平面

……………(11分)∵平面∴平面平面

…………………(12分)

21.某学校共有教师人，其中不到岁的有人，岁及以上的有人。为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为人的样本进行普通话水平测试，其中在不到岁的教师中应抽取的人数为多少人？参考答案：解析：而抽取的比例为，在不到岁