2022年度福建省龙岩市南靖县第二中学高三数学理联考试卷含解析

2022年度福建省龙岩市南靖县第二中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有以下四个命题（1）垂直于同一平面的两直线平行。

(2)若直线a、b为异面直线，则过空间中的任意一点P一定能做一条直线与直线a和直线b均相交。(3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行。（4）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与这个平面内的任何直线垂直。其中真命题有（

）个。(A)1

(B)2

(C)3

(D)

4参考答案：B略2.已知向量a,b，其中|a|，|b|，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a=a2－a·b，设为向量a，b的夹角，则，即，又，∴向量a，b的夹角为。故选A。3.下列函数中，既是奇函数，又在区间-1，1上单调递减的是

(

）A．

B．C．

D．参考答案：D4.已知点是双曲线的右支上一动点，，分别是圆和的动点，则的最大值为（

）A.6

B.7

C.8

D.9参考答案：D5.的内角满足条件：且，则角的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.若，则A．

B．

C．

D．参考答案：C7.对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数：①；②；③；④.其中为“敛1函数”的有

高考资源网A．①②

B．③④

C．②③④

D．①②③参考答案：C①；由于函数递增，那么不会存在一个正数，满足不等式。②；当x>0,c=2,那么存在x，满足题意，成立。③；对于1<x<2,令c=1,,时符号题意。④.=1-，x>1,c=3，则可知满足题意。故选C.8.设a=0.32，b=20.3，c=log25，d=log20.3，则a，b，c，d的大小关系是（）A．d＜b＜a＜c B．d＜a＜b＜c C．b＜c＜d＜a D．b＜d＜c＜a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=0.32∈（0，1），b=20.3∈（1，2），c=log25＞2，d=log20.3＜0，则a，b，c，d的大小关系是d＜a＜b＜c．故选：B．9.将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（

）A．240

B．480

C．720

D．960参考答案：B10.复数等于

（A）1＋i

（B）1－i

（C）－1＋i

（D）－1－i参考答案：S略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是

．参考答案：

12.如果实数满足条件

，那么的最大值为_____.参考答案：213.若双曲线的左焦点为，右顶点为，为的左支上一点，且，则的离心率是

．参考答案：414.已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)．则|PA|＋|PF|的最小值是

，取最小值时P点的坐标

．参考答案：，抛物线的准线为。过P做PM垂直于准线于M过A做AN垂直于准线于N，则根据抛物线的定义知，所以，所以的最小值为，此时三点共线。，此时，代入抛物线得，即取最小值时P点的坐标为。15.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往临近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为

元.参考答案：2200略16.的展开式中的系数为（用数字作答)．参考答案：20【知识点】二项式定理与性质解：通项公式为:令12-3r=3，r=3．

所以系数为：

故答案为：17.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线.若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24,36)，[36,48)，…，[84,96]分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数a的取整等于不超过a的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．（结果用小数表示）参考答案：0.82分析：结合题意可知低于36分的为不及格，从而算出及格率详解：由题意可知低于36分的为不及格，若某位学生卷面36分，则换算成60分作为最终成绩，由频率直方图可得组的频率为，所以这次测试的及格率为点睛：本题考查了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率，结合题目要求的转化分数即可算出结果。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点．（1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明B1F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，则Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱锥B1﹣ADF体积．【解答】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B1B．∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．∵B1F?平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=1，B1C1=CF=2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，∴B1F⊥FD．∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：∵AD⊥面B1DF，，又，CD=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查了用线面垂直的判定定理证明线面垂直，考查三棱锥B1﹣ADF体积，属于中档题．19.（本题满分10分）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中常数(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，用五点法作出函数在区间的图像.参考答案：（Ⅰ），，.（Ⅱ）

20.（14分）如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

(I)求证：AB平面PCB；

(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；（III）求二面角C-PA-B的大小．参考答案：解析:解法一：(I)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．…………2分∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．…………4分又，∴AB平面PCB．

…………5分

(II)过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．则为异面直线PA与BC所成的角．………6分由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂线定理，得PFAF．则AF=CF=，PF=，在中，

tan∠PAF==，∴异面直线PA与BC所成的角为．…………………9分（III）取AP的中点E，连结CE、DE．∵PC=AC=2，∴CEPA，CE=．∵CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得

DEPA．∴为二面角C-PA-B的平面角．…………………11分由(I)AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．在中，PB=，

．

在中，sin∠CED=．∴二面角C-PA-B的大小为arcsin．……14分解法二：（I）同解法一．(II)由(I)AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）．，．…7分

则+0+0=2．

==．

∴异面直线AP与BC所成的角为．………10分（III）设平面PAB的法向量为m=(x，y，z)．，，则

即解得

令=-1,

得m=(，0，-1)．

设平面PAC的法向量为n=()．，，

则

即解得

令=1,

得n=(1，1，0)．……………12分

=．

∴二面角C-PA-B的大小为arccos．………………14分21.某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每1公里需投资人民币1亿元.全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元.这笔贷款本金先用地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足.地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣除日常管理费等支出后）第一年为0.0124亿元，以后每年增长20%，到第20年后不再增长.（1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？（2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为1公里地铁支付多少元费用？（精确到元，1亿=）参考答案：（1）地铁营运第年的收入，………2分根据题意有：，……………4分解得9年.（或者，解得10年）答：地铁营运9年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金.……6分（2）市政府各年为1公里地铁支付费用第1年：；第2年：；。。。。。。第年：。………………2分年累计为：，…4分将代入得，亿.……8分答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为1公里地铁共支付19541135元费用.………………9分

22.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点；

（III）在(Ⅱ)的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围.

参考答案：(Ⅰ)（Ⅱ）略（III）解析：（I）由题意知而以原点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆的方程为，故由题意可知故椭圆C的方程为

……3分

（II）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由……①

……4分设点，则，直