2022年度湖南省娄底市涟源珠梅中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022年度湖南省娄底市涟源珠梅中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果一个几何体的三视图如图所示（长度单位：cm），则此几何体的体积是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略2.已知复数，则等于

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B3.已知直角△ABC中AB是斜边，=（3，﹣9），=（﹣3，x），则x的值是（）A．27 B．1 C．9 D．﹣1参考答案：D【考点】向量在几何中的应用．【分析】由题意可得⊥，即有?=0，由向量数量积的坐标表示，解方程可得x的值．【解答】解：直角△ABC中AB是斜边，=（3，﹣9），=（﹣3，x），可得⊥，即有?=0，即3×（﹣3）+（﹣9）?x=0，解得x=﹣1．故选：D．4.已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则

B．若，，则C．若，，则

D．若，，则参考答案：C5.三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略6.函数y=ln的图象大致是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（﹣x）=f（x），可得函数的图象关于y轴对称，故排除B、D，再根据当x∈（0，1）时，ln＜0，从而排除C，从而得到答案．【解答】解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得f（﹣x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1，∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于中档题．7.设集合A={－1,0,1,2}，集合，则A∩B=（

）A．(0,2]

B．(0,1,2)

C．(1,2)

D．(1,2]参考答案：B由题意得，∴．选B．

8.已知平面α与平面β交于直线l，且直线a?α，直线b?β，则下列命题错误的是（）A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥lB．若α⊥β，b⊥l，则a⊥bC．若a⊥b，b⊥l，且a与l不平行，则α⊥βD．若a⊥l，b⊥l，则α⊥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；整体思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可．【解答】解：A．若α⊥β，a⊥b，且b与l不垂直，则a⊥l，正确B．若α⊥β，b⊥l，则b⊥α，∵a?α，∴a⊥b，正确C．∵a与l不平行，∴a与l相交，∵a⊥b，b⊥l，∴b⊥α，则α⊥β正确．D．若a⊥l，b⊥l，不能得出α⊥β，因为不满足面面垂直的条件，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行或垂直的位置关系，比较基础．9.函数在上的最大值比最小值大，则为（）

A．

B．

C．

D．或

参考答案：D10.已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（

）．A.恒为正数 B.恒为负数

C.恒为0

D.可正可负参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是

．参考答案：（0，1）【考点】函数的零点．【专题】作图题．【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）【点评】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．12.抛物线的焦点坐标是_____________.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【试题分析】抛物线的焦点坐标为，抛物线中，所以焦点为，故答案为.13.已知定义在R上的函数则=

.参考答案：14.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，若＝6，则k的值为_______参考答案：k＝或k＝试题分析：依题设，得椭圆的方程为，直线AB,EF的方程分别为，y＝kx(k＞0)如图，设，，，其中且，满足方程，故，

由知，可得，由D在AB上知，，得，所以，化简，得，解得k＝或k＝.考点：圆锥曲线的综合应用；15.已知满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值为12，则的值为

▲

．参考答案：【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】-9

画出x，y满足的(k为常数)可行域如下图：

由于目标函数z=x+3y的最大值是12，可得直线y=x与直线12=x+3y的交点A（3，3），

使目标函数z=x+3y取得最大值，将x=3，y=3代入2x+y+k=0得：k=-9，故答案为：-9．【思路点拨】由目标函数z=x+3y的最大值是12，我们可以画出满足条件(k为常数)的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．16.若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是

．参考答案：17.若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．参考答案：试题分析：∵，，∴，∴，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知函数，是的一个极值点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的最大值．参考答案：解析：（Ⅰ）．

---------------------------------------------------3分∵是的一个极值点，∴是方程的一个根，解得．----------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则．

-------------------------------------------------------7分令，解得或．

---------------------------------------------8分1（1，2）2（2，3）3

00

∵当时，∴在（1，2）上单调递减；当时，∴在（2，3）上单调递增．∴当时，函数的最大值为与中的较大者．∴函数的最大值为．-----------------------------------------------------13分

19.某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)图5

参考答案：【解】(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

略20.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2－ρcos(θ－)=2．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2?ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．21.已知函数f（x）=ax2+lnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=3x+b在x=1处相切，求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=0时，函数h（x）=f（x）+bx有两个不同的零点，求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出k，b的值，（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性关系即可求出．（Ⅲ）当a=0时，若函数h（x）有两个不同的零点，利用数形结合即可求b的取值范围；【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2+lnx，x＞0，∴f′（x）=ax+，∵曲线y=f（x）与直线y=3x+b在x=1处相切，∴f′（1）=a+1=3，∴a=2，∴f（1）=1+ln1=1，∴1=3+b，∴b=﹣2，（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=ax+，当a≥0时，f′（x）=ax+＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，令f′（x）=0，解得x==，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，（Ⅲ）a=0时，函数h（x）=f（x）+bx=lnx+bx令m（x）=lnx，n（x）=﹣bx，要使得h（x）有两个零点，即使得m（x）和n（x）图象有两个交点（如图），容易求得m（x）和n（x）的切点为（e，1），∴0＜﹣b＜，即﹣＜b＜0．22.设点在圆上，直线上圆在点处的切线，过点作圆的切线与交于点．（Ⅰ）证明为定值，并求动点的轨