条件概率与乘法公式

第四节条件概率与乘法公式

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A)

P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到P(A|B)P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称(1)2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.3.条件概率的计算P(B)>0例1.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是男孩，问：另一个也是男孩的概率是多少？若已知第一胎是男孩，则第二胎也是男孩的概率？由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率可推广到n个事件例5.假设某人在森林中第1次丢下烟头不引起火灾的概率是(,一般很小)；第1次没引起火灾后，第2次丢下烟头不引起火灾的概率是；…；前j-1次没引起火灾后，第j次丢下烟头不引起火灾的概率是；…。求他n次丢下烟头至少有一次引起火灾的概率.例如甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}所求为P(AB).设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产例2.已知某品牌的小轿车行驶到40000km还能正常行驶的概率是0.95，行驶到60000km

还能正常行驶的概率是0.8，问：已经行驶了40000km的该品牌小轿车还能继续行驶到60000km的概率是多少？A:小轿车行驶到40000km还能正常行驶B:小轿车行驶到60000km还能正常行驶一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确吃亏吗？

到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”例3.设10件产品中有4件不合格品,现从中连续抽取两次,每次一件,问第二次取到合格品的概率为多少?

例.

袋中有a只黑球，b只白球，他们除颜色不同外，其他方面没有差别，现在把球随机地一只只摸出，求第k次摸出一只球是黑球的概率（1≤k≤a+b)三.全概率公式:定义1.4.2完备事件组:如果事件满足

则称事件构成一个完备事件组.其含义是在每次试验中必然发生而且仅有A1,A2

,…An中的一个事件发生。特别，n=2时，A1和A2就是对立事件。

设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则定理1.4.2(全概率公式)例4.某人准备报名驾校学车，他选甲、乙、丙三所驾校的概率分别为0.5、0.3、0.2，已知甲、乙、丙三所驾校的学生能顺利通过驾考的概率分别为0.7、0.9、0.75，

(1)求此人顺利通过驾考的概率。

(2)如果顺利通过驾考，求此人是报名乙这所驾校的概率。例9.试卷中有一道选择题，共有m个答案可供选择，其中只有一个答案是正确的，任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案，如果不会解这道题，也可能通过试猜而选中正确答案，其概率是，设考生会解这道题的概率是p，求：（1）考生选出正确答案的概率；（2）考生在选出正确答案的前提下，确实会解这道题的概率。例11.某股票今天有利好消息、有利空消息、既无利好也无利空消息的概率分别为0.6、0.2、0.2，已知有利好消息、有利空消息、既无利好也无利空消息的情况下该股票今天会上涨的概率分别为0.8、0.3、0.5。现已知该股票今天上涨，求它今天有利好消息的概率。该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.定理1.4.3(贝叶斯公式)：

设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B，它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.

经常称上述的P(A1)，P(A2)等为先验概率，称P(A1|B)等为后验概率。例6某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:设C={抽查的人患有癌症}，

A={试验结果是阳性}，求P(C|A).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得代入数据计算得:

P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?

1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率

P(C)=0.005

患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(C｜A)=0.1066说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症?

试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为

P(C｜A)=0.1066即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.

贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。

在不了解案情细节(事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.甲