ch热流体工程和微系统设计实用

会计学1ch热流体工程和微系统设计实用微流体器件概述微流体器件是MEMS的一个重要分支，包括如微泵、微阀、微管道、微混合器、微喷、微限流器和微搅拌器等。微流体器件的制作材料：玻璃、塑料/聚合物、金属、陶瓷、半导体等。微流体器件具有可批量生产、可集成化等特点。第1页/共129页(1)微流体传感器微流量传感器微流量传感器是利用MEMS技术加工制作的，把液体或气体的流量、流速和（或）方向转换为电信号输出的器件。微流量传感器按作用原理分：机械式微流量传感器和热流式微流量传感器。第2页/共129页

1993年，V.Gass等人研制了基于粘滞力的机械式微流量传感器，其结构如图所示。该传感器利用压阻效应检测流量：流体从入口流入传感器，产生的粘滞力作用于悬臂梁，使悬臂梁产生形变，从而引起压敏电阻阻值的变化。压阻式微流量传感器的特点是制作工艺相对简单，响应速度快，但一般受温度的影响比较大。流体入口悬臂梁压敏电阻

硅流体连接管硅机械支撑压焊快第3页/共129页

热流式微流量传感器设计的基本思路是：流体流动时会把热源的热量带走，或把热量从上游带到下游，利用加热元件和测温元件，通过测量带走或带来的热量，可得到流体流动的速度和（或）方向。热流式微流量传感器主要由一个加热元件(H)和两个测温元件(T1)和(T2)构成，如图所示。这里测温元件可以是热敏电阻、晶体管和热电偶等。

流体流向流体通道热流式微流量传感器结构原理T1HT2第4页/共129页如图所示是基于上述原理制作的一个微流量传感器，由一个中央加热器和前后两个温度传感器组成，悬臂梁长0.8mm，结构厚度为1um。热流式微型流量传感器实例第5页/共129页黏度/密度传感器微机电系统中一般采用振动方法度量流体的黏度。这类粘度计的设计思想是：与流体相接触的共振器的黏度衰减同流体的密度和粘度的矢量积成比例。第6页/共129页(2)微流体执行器微流体通道通常将水力学直径在1～1000μm之间的通道或管道定义为微通道。微通道是微流体系统的重要部件之一。微通道除了充当微泵、微阀、微传感器的连接器外还用于流体的输送、样品的混合和分离。用微通道对高速芯片或大功率器件进行冷却。第7页/共129页香港科技大学研制的微器件如图所示是香港科技大学采用表面微机械加工工艺制作的微通道，中间有一条40μm×1μm×4000μm微通道，在通道两边分布有微压力传感器，在微通道的中心处有一10μm宽的小孔，小孔附近微通道的宽度为10~34μm。输入压力达到34.5kPa时，在器件中通以氮气，首先可测得流速，同时随着小孔宽度的减小，流速呈单调递减。随后可得到沿通道的压力分布情况。第8页/共129页左图所示为中国台湾国立成功大学设计的新型微加热通道结构。右图所示为微加热通道晶片。内部有21组多晶硅微温度传感器，11组多晶硅微压力传感器和2组微加热器。经测试发现，当微通道高度为因此可以利用该器件设计开发新型冷却散热晶片，有效地解决目前CPU的散热问题。含压力传感器阵列的微加热通道芯片Pyrex7740玻璃

SU-8PNMD薄板微通道感应薄膜温度传感器微加热通道结构剖面图加热器感压凹槽金属导线多晶硅压力环氧树脂层第9页/共129页微阀微阀是微流量控制系统的关键部件，具有结构简单、制造方便、性能可靠等优点，容易形成产品，可作为微泵、微化学分析系统的组件，也可单独用于医疗和工业领域。微阀一般可分为微被动阀和微主动阀。微被动阀是指不需要外部动力或控制就能对流体的流动进行开关控制的器件，一般与微泵一起应用。主动阀可以是单向的，也可以是双向的，它们通过微执行器件控制其开合。第10页/共129页永磁体金线圈多晶硅氮化绝缘层入口出口德国的电磁致动微型阀德国的Meckes等人研制的电磁致动微阀，阀片是用牺牲层技术制作出的多晶硅膜。这是一个为小型气体分析仪设计的微阀结构，设计的压力指标为10~50kPa，过流能力为2~20mL/min，响应时间为5ms。第11页/共129页美国MIT的静电致动阀进口进口出口硅硅玻璃绝缘层美国MIT于1993年设计的压力平衡静电致动微阀，用于控制高压流体。其设计思想是通过流体的压力在移动阀堵上产生平衡力，通过集合参数的优化，可以用很小的致动力使阀开启或关闭。该微阀由三块硅晶片熔融键合而成。在大约200V的静电作用下，可控制空气的流速范围为0~

第12页/共129页微泵微泵在微流体供给和控制、微量元素分析、芯片冷却等方面有着广阔的应用前景。微流体泵分类方式繁多，按泵内有无阀部件，可以将微泵分为有阀型微泵与无阀型微泵；按泵内流体的运动方式不同，又可分为往复式泵与蠕动式泵；最常见的是根据致动方式的不同将微泵分为压电致动泵、静电致动泵、电磁致动泵、热致动双金属泵，形状记忆合金泵等。第13页/共129页美国斯坦福大学研制的压电致动蠕动泵。顺序施加电压，使压电片弯曲变形，三个单元分别执行出、入口单向阀和泵腔的功能，循环往复导致流体的定向流动。施加电压80V，无背压时流量约为100L/min。流量在频率小于15Hz时随驱动频率线性增加，频率大于15Hz时逐渐减小。第14页/共129页荷兰Twente大学于1983年开始进行微泵的研究，于1988年研制成功硅基压电驱动的有阀型微泵。图示是其研制的压电致动微泵，利用压电片驱动玻璃泵膜实现功能。该泵流量小于10L/min，最高背压为19.6kPa，工作频率低。第15页/共129页静电驱动微泵的特点是功耗低，大约为1mW，薄膜的形变可简单地通过供电电压控制，响应速度快，工艺简单；其不足之处是驱动电压较高。为了降低驱动电压，法国南巴黎大学于1997年研制了如图所示的静电致动微型泵，将驱动电压降低到10V以下。该微泵主要应用于药物传送。第16页/共129页微混合器微混合器是一种在硅晶片或薄塑料片上制作成千上万个微通道使流体分成数千股细微流束并迅速混合的微型流体混合机械，由微量流体定量器、微泵、微阀及微管道等连接而成，它可以在极短时间内实现微量液体混合、流体方向控制等。微混合器可应用于微量化学分析与检测、微量液体或气体配给、打印机喷墨阵列、IC芯片的散热与冷却、微型部件的润滑等领域。第17页/共129页RobinH.Liu等人设计的一种三维蛇型管道微流体混合器如图所示。整个三维立体结构由KOH双面腐蚀而成，混合器中带有”C”型重复单元。蜿蜒曲折、具有二维(或三维)结构的微管道中存在着与主流垂直的次流，次流的加强使流体中形成对流，进而使流体扭曲拉长，增加流体接触的面积，增强了流体混合能力。第18页/共129页分流式混合器是先分别将两流束分成很多细小的支流，汇合后进行混合，如左图所示。截流式混合器是在管道中放入阻隔物，以此扰乱流场，如右图所示，这种混合器又称之为静态混合器。这两种混合器都可有效地增加两种流体的接触面积。第19页/共129页流体力学基本知识流体力学主要研究运动中（流体动力学）或者静止中的流体（流体静力学）以及固体/流体的相互作用。流体的基本类型不可压缩流体，如液体可压缩流体，如气体流体的特点流体是分子的集合，分子间距远大于分子本身尺寸

流体具有粘性，流体运动时会产生摩擦第20页/共129页(1)流体的粘性粘性是流体运动时所产生的剪切阻力的度量粘度是粘性的程度，也称为动力粘度、粘性系数或内摩擦系数粘度是流体一个很重要的特性粘度和稳态流动中的剪切力有密切的关系第21页/共129页微小的剪切力都能够引起流体的流动。如图所示，剪切变形可被认为是由放置在块状流体上下表面的一对平板的相对运动产生。假定流体与上下平板的界面处无滑动，上下两块板的相对运动代表了引起流体流动的剪力。第22页/共129页剪应力τ可表示为在δt→0的情况下，可得：比例常数µ就是流体的动力粘度或粘度。切应力和切应变率之间是线性关系。具有这种线性关系的流体称为牛顿流体。第23页/共129页切应力与切应变率之间是线性关系。具有这种线性关系的流体被归类为牛顿流体，如图所示。流体的分类第24页/共129页由运动平板引起的流体流动速度分布如图所示。容易证明d/dt=du(y)/dy，u(y)代表距底板为y的流体速度。则有第25页/共129页流体力学分析中采用了另一种流体粘性的度量，称为运动粘度υ。运动粘度是动力粘度与同温下的密度之比值，υ＝μ/ρ（帕·秒）。动力粘度是稳态流动中的剪切应力与剪切速率之比值。（米2／秒）运动粘度与动力粘度第26页/共129页流线定义：运动流体中任意一点的轨迹。流线方向：与流体中运动点的运动方向一致流线特性：没有流动能够穿越流线任意两条流线都不相交流动的任何边界线一定也是流线在稳态流中，流线可随时改变其位置和形状(2)流线第27页/共129页（3）雷诺数流体流动模式：层流，流体沿着流线平缓的流动紊流，剧烈的，没有轨迹性雷诺数定义为:ρ－量密度，L－特征长度μ－动力粘性系数，V－速度雷诺数决定了流体流动的模式:可压缩流体，当Re<10到100时发生层流流动不可压缩液体，Re<1000时发生层流第28页/共129页（4）连续流动方程流体流动的连续性方程被用来计算体积流动速率流动速率可以用以下方式表示质量流速m(质量／时间)体积流速Q(体积／时间)流速V(距离／时间)第29页/共129页流动速率表达式的推导过程模型如图所示。选择通过流管的流体为控制体。第30页/共129页根据质量守恒定律得m－质量流速Δt－流体流过两控制面的时间ds

－两控制面这间距离，为无穷小A－流管的平均截面面积ρ

－流体的质量密度第31页/共129页当Δt→0，可得则一维流动的连续性方程为：对于稳态流动，可得出在稳态流动情况下质量流速为常数：A1、A2为截面面积；通过A1、A2的流体流速分别为V1、V2

第32页/共129页对于不可压缩流体，上式可用来计算体积流速式中Q的单位为m3/s第33页/共129页例题5-1在一个微流体系统中流动的不可压缩流体,以每分钟1微升的流速流过直径为1mm的管路。采用一个节流器将管路与微管路连接起来。节流器的出口直径为20m。求节流器入口和出口的流速。系统如图所示。第34页/共129页

微流量系统的液体供给第35页/共129页解:由于流速较低，假定流体处于层流状态，进一步假定液体保持稳态流动状态

由题意得

Q=1×10－6cm3/min=1.67×10－14m3/s节流器的进口和出口的截面积为

第36页/共129页将上面的已知条件代入体积流速方程，可以得到节流器进口和出口的流速分别为第37页/共129页（1）动量方程动量方程建立在动量守恒定律和牛顿动力平衡定律基础之上，用于求流体作用在固体上的力。流体对固体的作用第38页/共129页如图所示的二维稳态流动，控制体ABCD经过一个微小的运动到达A’B’C’D’位置。第39页/共129页在dt时间内控制体内的动量变化为控制体内动量变化的动量的动量的动量的动量其中，和分别是上图中流过控制面1-1和2-2的质量流速。第40页/共129页稳态流动的条件下，即根据，可得出诱导力V1和V2分别是控制面1-1和2-2的速度矢量。第41页/共129页（2）伯努力方程流体动力学中运动方程的作用：计算流体运动与所需驱动力(即压力)之间的关系确定驱动流体所需泵的功率第42页/共129页伯努力方程的推导假设前提：忽略流体与所接触管道表面的摩擦力下图中给出了沿流线中运动的单位厚度的二维流体单元。第43页/共129页推导的关键：对所有作用在单元切向和法向的力的分量求和，并根据牛顿定律建立所施加的压力和单元运动速度的关系式。牛顿定律表达为切线方向：法线方向：第44页/共129页加速度分量与流体单元的速度关系为因此，可得运动方程(即欧拉方程)为第45页/共129页当x轴与流线方向一致，则运动方程为式中u=u(x,y,z)—沿x方向的流体速度v=v(x,y,z)—沿y方向的流体速度w=w(x,y,z)—沿z方向的流体速度x,y,z分别是沿x,y和z方向流体体的分量第46页/共129页根据上面的方程可导出伯努利方程为状态属性变化的流体流动如图所示第47页/共129页例题5-3求流过10cm长的锥形管的酒精液流的压差。入口流速为600μm/s。酒精的质量密度为789.6kg/m3。如图所示，管与水平面的倾斜角为30o。第48页/共129页流体在锥形管中的流动第49页/共129页解：由题意可以计算出锥管的截面面积

A1=0.784×10－8m2

A2=0.1964×10－8m2

又已知入口速度

V1=600×10－6m/s由体积流速方程可求得出口流速第50页/共129页整理伯努利方程，可得ΔP表达式为式中锥管出口和入口的高度差等于L×sin30o=5×10-2m因此由上式可求得压差为387.3N/m2

或387Pa。第51页/共129页（3）水头损失在一个直径为d，长度为L的圆管中，由于流体之间和流体与接触壁的摩擦而引起的等效水头损失表示为式中f为达西摩擦因子其中τw是在管壁上的剪应力y=d/2=a，其中d为管的内径第52页/共129页则式中τw的表达式为对于层流情况，达西摩擦因数可表示为Re－雷诺数，其表达式中需要用管径d代替特征长度L

。第53页/共129页例题5-4计算例5-3中由于摩擦引起的等效水头损失。第54页/共129页解:采用平均值研究这个问题:管的平均直径d=75μm，入口和出口的平均速度V=1.5×10-3m/s（如何求解？？）查表4.3，得酒精的动态粘性系数

μ=1199.87×10-6N-s/m2可得出雷诺数：第55页/共129页于是可得摩擦因数等效水头损失hf为第56页/共129页与水头损失相关的一些公式流体在半径为a的圆管流动的层流示意图。圆管中的流体流动第57页/共129页压差ΔP

作用下体积流量Q的运动方程为其中y为参考平面与管之间的高度。沿管长L的流体压降为等效水头损失与体积流量Q的关系为第58页/共129页从流体压降公式与水头损失和流体流量之间的关系式可观察到：

对于层流，压降和摩擦水头损失与管径的四次方成反比。这意味着如果管径减小一半，驱动相同体积流量的驱动功率需要提高16倍式中参数d代表充满流体的圆管直径，圆管直径可由水力学直径dh代替第59页/共129页水力学直径定义为其中，A－液流的截面面积

p－湿周，即与流体接触部分的周长则宽为w，高为h的长方形截面管路的水力学直径dh为第60页/共129页

N-S方程著名的Navier-Stokes方程是流体动力学的控制方程现代计算流体动力学的代码也是在其基础上建立起来的流体动力学的N-S方程第61页/共129页求解三维空间中，运动流体分别沿x，y和z坐标的速度矢量u，v和w的方程其中ρ为流体的质量密度，g为重力加速度，P为驱动压力，μ为流体的动态粘度，t为时间。第62页/共129页流体控制体中一个小的立方单元如图所示。

第63页/共129页这个立方单元的应力分量可通过对N-S方程各种速度分量的微分求得第64页/共129页运动流体中全部应力分量的表达为第65页/共129页（1）表面张力流休动力学中两普遍现象在管道中流体流动的速度分布沿管道的中心方向逐渐增加在一个平面上粘性流体液滴的表面是球状的不可压缩流体的表面张力液滴的球状表面存在超过流体内部静压力的张力——表面张力表面张力及毛细效应第66页/共129页液体的表面张力与分子的内聚力有关流体中的表面张力Fs可被表示为表面张力Fs湿周S表面张力系数γ×水的γ值可通过下面的经验公式得出其中T为温度，单位为℃

γ的单位为N/m

第67页/共129页表面张力引起额外压降的公式图中给出了在一个圆柱形和球形液滴的内部由于表面张力引起的压力变化。第68页/共129页在上图a中的圆柱液体中，合力(2aL)ΔP等于湿周2L乘以表面张力系数γ，得在图b的球状液体中，合力(πa2)ΔP等于湿周(2πa)乘以表面张力系数γ，得第69页/共129页因此，可估算出下图中直径d≈2a的小管中的孤立液体的压力变化等于上述两式子的压力变化和小管中的流体体积第70页/共129页例题5-5确定克服内径为0.5mm小管中水的表面张力所需的压力。假定水温为20℃。

解:首先根据表面张力系数的计算公式得到γ20℃水的γ＝0.073N/m又已知管径为a＝250×10-6m根据压力变化计算公式得出克服表面张力所需的压力为:第71页/共129页（2）毛细效应流体的毛细效应涉及流体的表面张力和流体管道的尺寸毛细效应是将两端开口的细管一端插入一定体积的液体时，管内的液体会升起，如图所示。第72页/共129页小管中毛细高度计算公式为其中，w=ρg是液体的比重

θ是自由流体表面与管壁之间的夹角

a是毛细管的半径第73页/共129页例题5-16求图5.16中小管中水柱升起的高度h，管的直径为1mm

解：假定水表面的夹角θ≈00已知管半径为0.5mm在20℃时，水的γ＝0.073N/m水的ρ＝1000kg/m3，则比重为9810N∕m3根据小管中毛细高度的计算公式，可得出管中水柱的高度：第74页/共129页（3）微泵—压电泵压电泵利用表面力代替容积压力促使液流在微管道中流动。第75页/共129页压电泵的工作原理（如图5-17）几微米厚的薄壁使管子有很高的柔性外壁涂了一层压电薄膜换能器，当射频电压加到换能器上时，压电层中将产生机械应力机械应力将在管壁薄膜上产生柔性声波管壁的波动将产生泵效应以驱动流体第76页/共129页如图5.18，由物理规律可知管壁表面产生的力与压电效应在管壁处所产生的声波幅度成正比，并且沿管子中心成指数规律衰减（如图5-17中F的变化）力的变化导致管内的流体流速更加均匀（如图5-17中V的变化）第77页/共129页流体模型流场建模的基本途径有两类一类将流体考虑为分子的集合一类将流体当作连续不可分的物质前者又可划分为确定性方法及随机性法后者可在每一空间和时间点处定义出速度密度及压力等，从而建立一系列偏微分守恒方程，如Euler方程、(N—s)方程、Burnett方程等第78页/共129页(1)努森数

连续介质流体力学理论用于流体流动的有效性依赖于努森数的大小努森数的定义为式中，L为特征长度尺度（可以是流体的密度、速度或温度）

λ为流体的平均自由程（λ=65）第79页/共129页(2)马赫数运动气体的马赫数是其速度和气体压缩性的量度它的定义为

Ma=V/α其中V－运动气体的速度

α－气体中的声速理想气体相应的声速为定压下气体的比热容；定容下气体的比热容。第80页/共129页（3）微气体流动建模在微米/纳米范围，N-S方程的可适用程度由如图所示为气体流动状态谱说明。努森数

第81页/共129页从谱中我们可知:当努森数Kn<0.01时，连续理论和N-S方程可用于气体流动建模修正到包含滑移边界，连续理论和N-S方程可扩展到0.01<Kn<0.1+的情况当Kn<0.1-时，则需使用Burnett和修正的Boltzmann方程当Kn>10时，气流处于自由分子运动的形式第82页/共129页当Kn>10时,自由气体分子的质量流速公式:其中，d和L是管的直径和长度(d≤L≤λ)

λ为气体分子的平均自由程

ΔP是压降R为气体常数（J/kg·K）

T为温度（K）第83页/共129页例题5-7求氮气在直径为30nm，长为50nm的细管中的流动速度。驱动流体的压差为0.5Pa。流体在室温20℃下流动。第84页/共129页解:由自由气体的质量流速公式求解气体的质量流动速度，需要知道下面的参数对于氮气R=286J/kg·K气体的平均自由程λ＝65nm可得Kn=λ/d=65/30=2.17又已知L=50nm

d=30nmΔP＝0.5PaT＝293K将参数代入质量流速公式，得第85页/共129页热传导基本概念傅立叶定律热传导方程牛顿冷却定律固体-流体相互作用边界条件例子讲解（多个）第86页/共129页(1)基本概念许多MEMS器件采用热驱动，涉及这些执行器设计的关键问题是产生预期致动所需的热量启动和结束运动所需要的时间器件中的相关热应力和变形加热对器件中的精巧部件可能引起的破坏第87页/共129页热传导的一般原理如图所示的固体平板的热传导平板，平板左壁的温度Ta，右壁的温度Tb，且Ta>Tb第88页/共129页有如下的定性关系其中：Q为通过板的热量A为板的横截面积t为热量流过的时间

d为板的厚度比例系数k为固体的热导率

上述关系可用等式表示为第89页/共129页(2)热传导的傅立叶定律

热通量q

定义为单位面积和单位时间的热流量。平板内的热通量可由下式表示第90页/共129页热传导傅立叶定律的数学表达式的导出如图所示，在坐标系r:(x,y,z)中，空间固体的热通量可由下式表示上式就是热传导傅立叶定律的数学表达式，负号说明热通量是沿着固体表面的外法线方向第91页/共129页在直角坐标系中对上面的等式进行扩展：其中其中，qx,qy,qz分别是x,y,z方向的热通量分量

kx,ky和kz分别是固体在x,y,z方向的热导率(对于各向同性材料，kx＝ky＝kz)第92页/共129页(3)热传导方程热传导方程[温度场T(r,t)]在直角坐标系中，拉普拉斯算子可定义为在柱坐标系中第93页/共129页热传导方程中Q(r,t)是材料单位体积和单位时间产生的热量常数α叫做材料的热扩散率微系统中的常见热源为电阻加热，电阻产生的热量表示为：功率P（W）电流I（A）电阻R（Ω）×2第94页/共129页常数α数学表达式为

其中ρ是固体的质量密度

c是固体的比热很明显，固体的α值越高其导热越快。因此，由高α值材料制成的热驱动器件的响应速度更快。第95页/共129页（4）牛顿冷却定律牛顿冷却定律是分析流体对流热传递的基础如图5.22，温度为Ta和Tb两点的热通量与两点的温度差成正比，于是牛顿冷却定律表示为：第96页/共129页牛顿冷却定律中的常数h称为热传递系数，它通常包含在努塞尔数中(Nu=hL/k,L为特征长度)。对于强迫对流，努塞尔数的数值为

对于低速自由对流

参数α，β，γ和δ是由实验决定

Re一雷诺数，Pr一普朗特数

Gr一Grashoff数第97页/共129页雷诺数、普朗特数和Grashoff数的定义为式中cp为恒压下流体的比热

β是热膨胀的体积系数Δt为时间

g为重力加速度第98页/共129页（5）固体－流体相互作用

如图所示，是热从温度场为T(r,t)的固体传到周围温度为Tf的流体的过程(可逆)。第99页/共129页图中，使从固体这边进入边界层的热流矢量qs与离开边界层进入流体的热流量qf相等，可得到下面的关系固体这边进入边界层的热流矢量qs与离开边界层进入流体的热流量qf相等，可得到下面的关系第100页/共129页(6)边界条件从热传导方程可求出MEMS器件的温度分布，这是与热效应相关的微系统设计的一个重要步骤。热传导方程的求解需要合适的边界条件公式。有三种类型的边界条件可用于热分析。下面将分别给出。第101页/共129页给定表面温度这种类型的边界条件主要用于温度已知的特定表面特定位置上的固体。参见下图。

rs处的边界条件可表示为第102页/共129页给定边界的热通量图5.24b给出了一个具体事例边界条件为第103页/共129页下表给定上述等式正确的温度梯度符号外法线n的符号q与n的方向相同吗？边界条件中q的符号+是－+否+－是+－否－第104页/共129页例题5-9给出长方形物体四面的热通量的边界条件(如图5.25)。长方形物体在x-y平面内热传递的温度分布为T(x,y)。穿过四面的热通量分别为q1,q2,q3和q4

第105页/共129页解：由热通量边界条件和上表可得出下面的边界条件在左表面：在右表面：在上表面：在下表面：（a）（b）（c）（d）第106页/共129页对流边界条件这种边界条件应用于固体边界与温度为Tf的流体相接触的情况（如图所示）。第107页/共129页流边界条件的表达式从上式可看出当h→∞时，与rs

边界条件所指定表面的边界条件是等价的当h=0时，得到热通量边界条件中的绝热边界条件第108页/共129页例题5-10写出图5.27所示的热致动微梁的微分方程和合理的初始边界条件。一片薄铜膜粘到硅梁的上表面做为加热电阻。执行器的初始温度为20℃。考虑与梁下表面接触空气的两种情况：(1)静止空气，(2)空气的温度为20℃，热传递系数为10-4W/m2·℃第109页/共129页第110页/共129页解：考虑到温度场主要沿梁的厚度方向上变化,可假定梁的温度函数为T(x,t)，x为厚度方向的坐标（如图所示）。第111页/共129页根据热传导方程的一般形式，可得出本题的微分方程为上式中硅梁的热扩散率可查表得到

α＝0.9752cm2/s初始条件为第112页/共129页由上表面的边界条件为x=0，可得热通量的输入条件其中，q为铜膜产生的热通量，q=I2R/Ak为硅梁的热导率上面表达式的边界条件等价于(a)(b)第113页/共129页可应用于下表面的可能边界条件为：1)静止空气的绝热边界条件2)对流边界条件在梁的下表面(x=40μm)的绝热边界条件(即h＝0)，可得此条件的数学表达式在梁下表面(x=40μm)的对流边界条件。数学表达式用对流边界条件表示为：(c)(d)第114页/共129页利用条件(a),(b),(c)或(a),(b),(d)，梁的温度场T(x,t)