2022年度河南省信阳市莽张高级中学高二数学理月考试题含解析

2022年度河南省信阳市莽张高级中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则()A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点参考答案：A2.

参考答案：解析:BGEF在面ABCD中的射影面积为1－×2－=,BGEF在面B1BCC1上的射影面积为，在面A1ABB1上的射影面积为1－－×2=,∴最大值为.答案:B3.若关于x的方程2x3﹣3x2+a=0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，0]∪[1，28） B．[﹣4，28] C．[﹣4，0）∪（1，28] D．（﹣4，28）参考答案：C【考点】55：二分法的定义．【分析】利用导数求得函数的增区间为[﹣20）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点可得f（0）≠0，故①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：设f（x）=2x3﹣3x2+a，则f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），x∈[﹣2，2]，令f′（x）≥0，求得﹣2≤x≤0，1≤x≤2令f′（x）＜0，求得0＜x＜1，故函数的增区间为[﹣20）、（1，2]，减区间为（0，1），∵若f（1）=0，则a=1，则f（x）=2x3﹣3x2+1=（2x+1）（x﹣1）2，与提意不符合．∴f（1）≠0根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点，f（﹣2）=a﹣28，f（0）=a，f（1）=a﹣1，f（2）=a+4，若f（0）=a=0，则f（x）=x2（2x﹣3），显然不满足条件，故f（0）≠0．∴①，或②．解①求得1＜a≤28，解②求得﹣4≤a＜0，故选：C．【点评】本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．4.若抛物线上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标和的值分别为（

）A．9，2

B．1，18

C．9，2或1，18

D．9，18或1，2参考答案：C5.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：

认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450根据表中数据得到5.059，因为p(K≥5.024)=0.025,则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（

）A．2.5％

B．95％

C．97.5％

D．不具有相关性参考答案：C6.抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由已知中抛物线x=﹣2y2，我们可以求出抛物线的标准方程，进而求出p值，根据抛物线的准线方程的定义，得到答案．【解答】解：∵抛物线x=﹣2y2的标准方程为y2=﹣x故2p=﹣即p=则抛物线x=﹣2y2的准线方程是故选D7.已知周长为c,且它的内切圆半径为r，则三角形的面积为.类似地，若四面体的表面积为，内切球半径为，则其体积是（

)

A.

B.

C.3

D.

参考答案：B8.已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．+=4 B．+=2C．e12+e22=4 D．e12+e22=2参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，并表示出e1和e2，根据椭圆和双曲线的定义、勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论．【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，则e1=，e2=，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，|PF1|﹣|PF2|=2m

①由椭圆的定义得，|PF1|+|PF2|=2a

②又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2

③①2+②2得，|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④将④代入③得，a2+m2=2c2，即，即，故选：B．9.表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x3456y2.5t44.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5参考答案：A【考点】BQ：回归分析的初步应用．【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【解答】解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．10.当θ是第四象限时,两条直线和的位置关系是（

）

A．平行

B．垂直

C．相交但不垂直

D．重合参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.右图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_______________．参考答案：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：(88＋89＋90＋91＋92)＝90

设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x则乙的平均成绩：(83＋83＋87＋99＋90＋x)＝88．4＋，当x＝9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x＝8，甲的平均数＝乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．12.已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为．参考答案：y=【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的离心率，利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出的值，由此能求出双曲线的渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，∴===，∴1+=，∴=，解得，∴C的渐近线方程为y==．故答案为：y=．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．13.已知在上单调递减，则实数的取值范围是_________参考答案：[-2，1]14.已知F是椭圆C：的右焦点，P是C上一点，，当周长最小时，其面积为

．参考答案：4

15.已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为_________参考答案：16.“不等式对一切实数都成立”的充要条件是_____________．参考答案：17.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．（1）求点A的坐标；（2）若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．参考答案：解：（1）由……3分得∴A(－1,0)．……6分（2）∵y＝0是∠A的平分线，∴点B关于y＝0的对称点B′(1，－2)在直线AC上，8分∴直线AC的方程为＝＝－1，即y＝－x－1. ……10分又∵BC的方程为y－2＝－2(x－1)，即y＝－2x＋4. ……12分由解得∴点C(5，－6)． …………14分

19.（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆，圆．（Ⅰ）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（Ⅱ）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长，如图9所示．

（i）证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；（ii）动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

参考答案：（Ⅰ）设直线的方程为，即．

因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为．

化简，得，解得或．

所以直线的方程为或．

…………4分（Ⅱ）（i）证明：设圆心，由题意，得，

即．化简得即动圆圆心C在定直线上运动．…………8分

（ii）圆过定点，设，则动圆C的半径为．于是动圆C的方程为．整理，得．由得或

所以定点的坐标为，．

…………14分

20.已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）将代入函数的解析式，并将函数表示为分段函数，分段解出不等式，可得出所求不等式的解集；（2）分和两种情况，将函数的解析式表示为分段函数，求出函数的最小值，然后解出不等式可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，当时，由，得；当时，由，得；当时，不等式无解.所以原不等式的解集为；（2）当时，；当时，.所以，由，得或，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及绝不等式不等式恒成立问题，一般采用去绝对值的办法，利用分类讨论思想求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21.在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．参考答案：【分析】（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空间向量法）（1）同法一（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可【解答】解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B所以BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，BC∩AB=B所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO因为，所以EO∥SA因为SA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平