ARMA模型的概念和构造

ARMA模型的概念和构造

1一、ARIMA模型的基本内涵一、ARMA模型的概念自回归移动平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,简记为ARMA模型），由因变量对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值回归得到。包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）。2ARIMA模型的概念一.移动平均过程1.移动平均（MA）过程的表示：其中u为常数项，为白噪音过程引入滞后算子L，原式可以写成:

或者

3ARIMA模型的概念2.MA（q）过程的特征1.2.3.自协方差①当k>q时＝0②当k<q时对于任意的，MA(q)是平稳的。

4ARIMA模型的概念二.自回归（AR）过程1.自回归（AR）过程表示为：

其中为为白噪音过程引入滞后算子，则原式可写成

其中5ARIMA模型的概念2.AR(p)过程平稳的条件如果特征方程：的根全部落在单位圆之外，则该AR(p)过程是平稳的

6ARIMA模型的概念3.AR(p)过程的特征

=0，的无条件期望是相等的，若设为u，则得到:7ARIMA模型的概念……将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程的方差及各级协方差。8ARIMA模型的概念三.自回归移动平均（ARMA）过程1.ARMA过程的形式其中为白噪音过程。若引入滞后算子，可以写成其中9ARIMA模型的概念2.ARMA过程平稳性的条件ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。当满足条件：

特征方程的根全部落在单位圆以外时，ARMA(p,q)是一个平稳过程。10ARIMA模型的概念3.ARMA(p,q)过程的特征1）2）ARMA(p,q)过程的方差和和协方差11ARIMA模型的概念四.AR、MA过程的相互转转化结论一：平稳稳的AR(p)过程可以转化化为一个MA(∞)过程，可采用用递归迭代法法完成转化结论二：特征征方程根都落落在单位圆外外的MA(q)过程具有可逆逆性平稳性和可逆逆性的概念在在数学语言上上是完全等价价的，所不同同的是，前者者是对AR过程而言的，，而后者是对对MA过程而言的。。12二、Box-Jenkins方法论建立回归模型型时，应遵循循节俭性(parsimony)的原则博克斯和詹金金斯(BoxandJenkins)提出了在节俭俭性原则下建建立ARMA模型的系统方方法论,即Box-Jenkins方法论13Box-Jenkins方法论Box-Jenkins方法论的的步骤：步骤1：模型识别步骤2：模型估计步骤3：模型的诊断断检验步骤4：模型预测14三、ARMA模型的识别别、估计、诊诊断、预测(一).ARMA模型的的识别1.识别ARMA模型的两个个工具：自相关函数(autocorrelationfunction,简记为ACF）；偏自相关函数数(partialautocorrelationfunction,简简记为PACF)以及它们各自自的相关图（（即ACF、、PACF相相对于滞后长长度描图）。15ARMA模型型的识别2.自相关关函数和偏自自相关函数的的概念①自相关函数数过程的的第j阶自相关系系数即，，自相关函函数记为ACF(j)。。②偏自相关函函数偏自相关系数数度量了消除中中间滞后项影影响后两滞后后变量之间的的相关关系。。偏自相关函函数记为PACF(j)16ARMA模型型的识别③自相关函数数和偏自相关关函数的联系系2阶以上的偏偏自相关函数数计算公式较较为复杂，这这里不再给出出。17ARMA模型型的识别2.MA、、AR、ARMA过程自自相关函数及及偏自相关函函数的特点⑴MA(q)过过程的自相关关函数1≤j≤qj>q时，ACF(j)=0，此现现象为截尾，，是MA(q)过程的一一个特征如下图：18ARMA模型型的识别MA（2）过过程19ARMA模型型的识别⑵AR(p)过过程的偏自相相关函数时，偏自相关关函数的取值值不为0时，，偏偏自自相相关关函函数数的的取取值值为为0AR(p)过过程程的的偏偏自自相相关关函函数数p阶阶截截尾尾如下下图图：：20ARMA模模型型的的识识别别21ARMA模模型型的的识识别别22ARMA模模型型的的识识别别⑶AR(p)过过程程的的自自相相关关函函数数以以及及MA(q)过过程程的的偏偏自自相相关关函函数数平稳稳的的AR(P)过过程程可可以以转转化化为为一一个个MA(∞∞））过过程程，，则则AR(P)过过程程的的自自相相关关函函数数是是拖拖尾尾的的一个个可可逆逆的的MA(q)过过程程可可转转化化为为一一个个AR(∞∞））过过程程，，因因此此其其偏偏自自相相关关函函数数是是拖拖尾尾的的。。23ARMA模模型型的的识识别别⑷ARMA(p,q)过过程程的的自自相相关关函函数数和和偏偏自自相相关关函函数数ARMA过过程程的的自自相相关关函函数数和和偏偏自自相相关关函函数数都都是是拖拖尾尾的的如下下图图：：24ARIMA模模型型的的识识别别25ARMA模模型型的的识识别别3.利利用用自自相相关关函函数数、、偏偏自自相相关关函函数数对对ARMA模模型型进进行行识识别别⑴通通过过ADF检检验验，，来来判判断断序序列列过过程程的的平平稳稳性性；；⑵利利用用自自相相关关函函数数、、偏偏自自相相关关函函数数以以及及它它们们的的图图形形来来确确定定p,q的的值值。。26（二二））ARMA模模型型的的估估计计ARMA模模型型的的估估计计方方法法：：矩估估计计极大大似似然然估估计计非线线性性估估计计最小小二二乘乘估估计计27（三三））ARMA模模型型的的诊诊断断一.诊诊断断的的含含义义二.诊诊断断的的方方法法三.检检验验统统计计量量Box和和Pierce提提出出的的Q统统计计量量Ljung和和Box(1978)提提出出的的LB统统计计量量。28ARIMA模模型型的的诊诊断断1.Q统统计计量量，近近似似服服从从（（大大样样本本中中））分布布其中中n为为样样本本容容量量，，m为为滞滞后后长长度度2.LB统统计计量量，服从从分分布布，，其其中n为为样样本本容容量量，，m为为滞滞后后长长度度。。3.LB统统计计量量的的特特点点29ARMA模模型型的的诊诊断断四.信信息息准准则则(informationcriteria)Akaike信信息息准准则则Schwarz信信息息准准则则Hannan-Quinn信信息息准准则则其中中为为残残差差平平方方，，是是所所有有估估计计参参数数的的个个数数，，T为为样样本本容容量量。30ARMA模模型型的的预预测测一.基基于于AR模模型型的的预预测测以平平稳稳的的AR(2)过过程程为为例例：：其中中为为零零均均值值白白噪噪音音过过程程………31ARMA模模型型的的预预测测在t时时刻刻，，预预测测的的值值：：=在t时时刻刻，，预预测测的的值值：：同理理：：…结论论32ARMA模模型型的的预预测测二.基基于于MA过过程程的的预预测测过程程结论论：：MA(2)过过程程仅仅有有2期期的的记记忆忆力力33ARMA模模型型的的预预测测三.基基于于ARMA过过程程的的预预测测结合合对对AR过过程程和和MA过过程程进进行行预预测测ARMA模模型型一一般般用用于于短短期期预预测测34五、、实实例例：：ARMA模模型型在在金金融融数数据据中中的的应应用用数据据：1991年年1月月到到2005年年1月月的的我我国国货货币币供供应应量量（（广广义义货货币币M2））的的月月度度时时间间序序列列数数据据目的的：说明明在在Eviews5.0软软件件中中利利用用B-J方方法法论论建建立立合合适适的的ARIMA（（p,d,q）