2022年北京牛堡屯学校高三数学理期末试卷含解析

2022年北京牛堡屯学校高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图甲所示的茎叶图为高三某班60名学生某次数学模拟考试的成绩，算法框图图乙中输入的ai为茎叶图的学生成绩，则输出的m，n，k分别是（）A．m=18，n=31，k=11 B．m=18，n=33，k=9C．m=20，n=30，k=9 D．m=20，n=29，k=11参考答案：B【考点】EF：程序框图；BA：茎叶图．【分析】模拟程序的运行，可得算法的功能，结合茎叶图即可得解．【解答】解：依据程序框图，可知，m表示数学成绩ai＜90的学生人数，则m=18；n表示数学成绩90≤ai≤120的学生人数，则n=33；k表示数学成绩ai＞120的学生人数，则k=9，故选：B．【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题．2.曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为

．参考答案：y=4x﹣3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．3.若把一个函数少的图象按平移后得到函数的图象，则函数的解析式为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.若的图象过点，则=

(A)-1

(B)0

(C)2

(D)1参考答案：D5.某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是

（

）

A．

B．cm3 C．

cm3 D．

cm3参考答案：D略6.设等比数列的前项和为．则“”是“”的（

）（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分又不必要条件参考答案：C，若，则，所以。若，则，所以，即“”是“”的充要条件，选C.7.下图是一个算法的程序框图，当输入值为10时，则其输出的结果是（

）A．

B．2

C．

D．4参考答案：D8.已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．9.偶函数满足，且在时，，则关于的方程，在上解的个数是（

）A．1

B.2

C.3

D.4

参考答案：【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4【答案解析】解析：解：∵∴∴原函数的周期T=2又∵是偶函数，∴.又∵x∈[0，1]时，，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）．方程

根的个数，即为函数y1=f（x）的图象（蓝色部分）与的图象（红色部分）交点的个数．由以上条件，可画出y1=f（x），的图象：又因为当x=1时，y1＞y2，∴在（0，1）内有一个交点．∴结合图象可知，在[0，4]上y1=f（x），共有4个交点．∴在[0，4]上，原方程有4个根．

故选D．【思路点拨】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．10.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．8

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在不等式组所表示的平面区域内,求点（）落在∈[1，2]区域内的概率是

．参考答案：12.空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为

．（该年为365天）参考答案：146【考点】茎叶图．【分析】根据该样本中AQI大于100的频数求出频率，由此估计该地全年AQI大于100的频率与频数．【解答】解：该样本中AQI大于100的频数是4，频率为，由此估计该地全年AQI大于100的频率为，估计此地该年AQI大于100的天数约为365×=146（天）．故答案为：146．13.若（2x﹣）n的展开式中所有二项式系数和为64，则n=；展开式中的常数项是

．参考答案：6；240【分析】利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．【解答】解：∵（2x﹣）n的展开式中所有二项式系数和为2n=64，则n=6；根据（2x﹣）n=（2x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?（2x）6﹣r?x﹣2r=?（﹣1）r?26﹣r?x6﹣3r，令6﹣3r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项是?24=240，故答案为：6；240．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为__________．参考答案：9作可行域，则直线z=x+y过点A(5,4)时取最大值9.

15.已知双曲线的渐近线方程是，那么此双曲线的离心率为

.参考答案：16.如图，在四边形中，，为的中点，且，则

.

参考答案：略17.已知函数f（x）＝则f（2＋log23）的值为_____.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC=，M在PC上，且PA∥面MBD．（1）求证：M是PC的中点；（2）求多面体PABMD的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连AC交BD于E，连ME．推导出PA∥ME，由此能证明M是PC的中点．（2）取AD中点O，连OC．则PO⊥AD，从而PO⊥面ABCD，由此能求出多面体PABMD的体积．【解答】证明：（1）连AC交BD于E，连ME．∵ABCD是矩形，∴E是AC中点．又PA∥面MBD，且ME是面PAC与面MDB的交线，∴PA∥ME，∴M是PC的中点．解：（2）取AD中点O，连OC．则PO⊥AD，由平面PAD⊥底面ABCD，得PO⊥面ABCD，∴，∴，∴，∴．19.（12分）设函数.

(1)判断函数奇偶性；（2）证明：的导数；

(3)求函数在区间的最大值和最小值(结果用分式表示).参考答案：解析:（1）∵,,∴函数的定义域为实数R.

……1分又∵∴函数为奇函数.

……4分（2）的导数．

……6分由于，故．（当且仅当时，等号成立）．

……8分(3)由（2）可知函数在单调递增，所以在区间上也单调递增，故函数在处取得最大值，最大值为……10分在处取得最大值，最大值为

……12分

20.（本小题满分12分

）甲将经营的某淘宝店以57.2万元的优惠价格转让给了尚有40万元无息贷款没有偿还的乙，并约定从该店经营的利润中，逐步偿还转让费（不计息），直到还清.已知：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售单价P（元/件）的关系如图所示的折线段；③该店每月需各种开支2000元.（I）写出月销量Q（百件）与销售单价P（元/件）的关系，并求该店的月利润L（元）关于销售单价P（元/件）的函数关系式（该店的月利润=月销售利润－该店每月支出，不包括转让费及贷款）；（II）当商品的价格为每件多少元时，该店的利润最大？并求该店的月利润的最大值；（III）若乙只依靠该店，最早可望在多少年后无债务？参考答案：（1） …………2分因此， …………4分即（略）.

（2）当； 当 因为元时，月利润最大，为4050元.

…………8分

（3）设可在n年后脱贫（元债务），依题意有解得，即最早在20年后无债务.

…………12分21.（理科加试）在极坐标系中，P是曲线ρ=12sinθ上的动点，Q是曲线上的动点，试求PQ的最大值．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：将ρ=12sinθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再将原极坐标方程中的三角函数利用差角公式展开后，两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换，最后利用直角坐标方程进行求解．解答： 解：∵ρ=12sinθ∴ρ2=12ρsinθ∴x2+y2﹣12y=0即x2+（y﹣6）2=36又∵∴∴x2+y2﹣6x﹣6y=0∴∴PQmax=．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．属于基础题．22.为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：评估的平均得分全市的总体交通状况等级不合格合格优秀

（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率.参考答案：（Ⅰ）6条道路的平均得分为.-----------------3分

∴该市的总体交通状况等级为合格.

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