2021阿里巴巴数学竞赛决赛试题

阿里巴巴全球竞赛决赛试题代数与数论Algebra&NumberTheory代数与数论Algebra&NumberTheory设F为域,考虑F-上的如下环结构，加法是通常的向量加法，乘法定义为（切1,.一［工的）*（2/1）■'-1"%）=（£］甘I］•，,：：/匕期n）,设AuF'为包含（］「，/）的子环.假设A为整环，而且它作为加法群是有限生成的Q试证对于a的任何非零元（羯…网），我们有nL瑜#00LetFbeafield.ConsidertheringstructureonFnwhereadciitionistheusualvectoradditionandmultiplicationisdefinedby{61,.r（41t…”［9想）—（^^12/1?'■"7^n^n）■LetAcbeasubringcontaining（L...,1）.SupposeAisanintegraldomainanditsunderlyingadditivegroupisfinitelygenerated.Provethatforever}rnonzeroclement（xij+..,arft）inA：onehas"乙编丰0.设群G作用在集合◎上，使得所有G-轨道都是无限集口设r,△为n的有限子集。试证存在gWG使得g「n△=①LetagroupGactonaset1suchthatallG-orbitsareinfinite.Letr,AbefinitesubsetsofQ.ProvethatthereexistsgeGwithg「n△=0.设炉为域尸上的有限维向量空间।char(F)#2,令小『fF为二次型,也就是说:存在对称F-双线性型E:产-F(必然唯一)使得式七)=B(v.v)对所有u成立。对所有域扩张Ff瓦定义二次型Q到E上的基变换为qe：EVE;(lE(a^ E.v^V.我们说g是迷向的,如果廿*0 <?(v)t0c(a)试证如果g迷向，而国：尸]是奇数那么而也是迷向的。(b)以上叙述在[E:F]为偶数时是否成立？LetVbeafinite-dimensionalvectorspaceoverafieldFwithchar(F)t2fandlet<7;VfA1beaquadraticform,whichmeans:thereisasymmetric/"-bilinearform8：口xVfF(necessarilyunique)suchthat雇翼)=v)forallv.FbranyfieldextensionFfE,wedefinethebase-changequadraticformofqtoEby的：E包fVtE;<?e(q齿匕)=q"(切:aeE7rel<Wesayqisanisotropicif七，0<=>q(打)*0.Showthatifqisanisotropicand[E：/」isanoddpositiveinteger,thenqEisalsoanisotropic.Docstheabovestatementstillholdif[E;F]iseven?找出所有满足以下条件的有限群G：G的阶是相异素数的积，换句话说，存在相异素数a…，加使得=沔…以；G的所有非平凡元都是素数阶的，换句话说每个元素的阶数都属于{1产2…Pm}.(注记:答案和m.有关;例如当m=2时存在许多这样的G；您必须对它们分类JFindallfinitegroupsGsatisfyingthefollowingconditions:theorderofGistheproductofdistinctprimes,ie#G=/广受色forsomedistinctprimes九…产皿；andallnon-trivialelementsofGliaveprimeorder,thatis,theorderofeveryelementbelongsto{l,p17..,,pm}.(Note；Theanswertlcpcndsonibrcxatnplqwhenm=2,therearemanysuch(7;youneedtoclassifythem.)5.找出所有(也a),其中电>2是整数而a#。是复数，使得ne{「巳*|reR),ct+a：-1€{m+nx/-2| .Findallpairs(A;,a),whereA;>2isanintegerand。,。isacomplexnumber,suchthatae{『e罟|rf底卜a+or]£{m+ |m,n€%}.二、分析与方程Analysis&DifferentialEquations1.假设9(£)是定义在炉上的光滑Schwarz函数(也称速降函数)，满足条件Ig(x+y)da(y)=0；WrE唆.J|M二i这里说(")是球面寸引=1}上的标准面积单元,证明g=0.AssumethatisaSchwartzfunctiononR，satisfyingthat.Ig(x+$)©仃®)=0：ER±J|M=iHereda(y)isthesurfacemeasureonthesphere||y|=1},Provethat<7=0.2.假设及3上的球对称函数以工）（也就是当闭=|引时有乜（乃=9@））满足方程Au-u+\u\2u=01VxeR3.如果建EC?（如）CHl（股，证明存在常数。使得|1£（幻|<Ce~2工.LetuEC2（R3）CiH*瞰）beasphericallysymmetricfunction（thatis也㈤=矶g）whenever|t二|y|）verifyingtheequation△"一也+ =0,ER"+ProvethatthereexistspositiveconstantCsuchthat|u（x）|<CeT或3.考虑IT中的有界区域G,以及定义在这个区域上的非负函数k使得对常数口>1,M>0：Eq>0有M<［强航］IHdx<M证明存在只依赖于的常数C使得IMI^（Q）<c（l|v矶上⑼+/「wg》VueF网，LetQbeaboundeddomaininand/£beanan-negativefunctionsuchthatM<IKtix,I<EqJqJqforsomeconstantsq>1,A/>0,Eq>0.ProvethatthereexistsaconstantCdepraciingonlyon suchthatI创屏⑼< +’和闷曲；｝Vve炉⑼.4.在股姓上考虑薛定谤方程idtu+ =0, (0?t)=的(£)i工WRn.假设初始值刈EZ2⑻)0证明lim x)\2dxdt=0.JgTJ。J\x\<VtConsiderthelinearSchrodingerequationidtu+Au=0,u(0,i)=必(n，£WAssumethatuq££2(Rn).Provethatlim—[[ \u(t.x)\2dxdt=0+TtmTJo/"或\，川5.考虑标准的2维环面丁2=股2/方，以及上面的半径为0.1的圆圈机证明存在常数C>。使得对任意定义在环面上，并且满足方程揖J一层J= A/0的函数/均满足不等式II力心（S出）w 心其少其中出为圆圈的弧长测度.LetT2=R2/^2bethestandard2-dimensionaltoriisandSbeafixedcircleofradius0.1onT“withthearclengthmeasureds.ProvethatthereexistsaconstantC>0suchthatforanyfonT2satisfying比J—设J=Nwchavell/ll£2(S,d3)WC|IH3巧，三、几何与拓中卜Geometry&Topology设Sg是万格为9的口「定向闭曲面iN?q是万格为2g的不可定向闭曲面(即N4由球面粘接2g个，，交叉帽”得到).设/:N2gI均是连续映射,证明：诱导映射A：H2gs,㈤叫T心⑸西/2宏)恒为0.LetSgbeaclosedorientablesurfaceofgenusg】andletN2gbeaclosednon-orientablesurfaceofgenus2g(i.e.N2gisobtainedbyattaching2gcross-capstoasphere),Let/:N2gTSgbeacontinuousmap*Provethattheinducedmapf*:为52g•阳俎｝TZ/2Z)i吕zero.设S3是R4中的单位球面，赋予标准的李群结构，工为deRham上同调的一个非零元.证明：不存在李群同构一:S*TS/使得广依)=一工LetS3bethe3-dimensionalunitspherein脓\equippedwiththestandardLiegroupstructure,andlotxbeanon-zeroelementofthedeRhanicohomologyR).ProvethattheredoesnotexistaLiegroupisomorphismf:S3Ts'suchthat/*(t)=—x.设CP为复射影平面,",心43为其中三条复射影直线，满足IIn=0,取Li,L2jL3各自的紧致管状邻域，使得它们的并是一个（实）4维带边紧致流形W,边界记为M=9W,并且要求W\（L^L2U上3）同胚于Mx[0.1）.请计算乂的％系数同调群.LetCP2bethecomplexprojectiveplane,andLirLa,bethreecomplexprojectivelinessuchthatRL2C\-0,Theunionofsomecompacttubularneighborhoodsof心也,£3isacompact（real）4-dimensionalmanifoldWwithboundaryM=dW,suchthatW\（LiUL?UL3）ishomeomorphictoMx[0,1）.ComputethehomologyofMwithcoefficientsinZ+设（MM是n维黎曼流形（71>3）,截面曲率K20.设M力为测地线，tE[0,T）,其中t是弧长参数.假设J1：…一％T是沿7曲Jacobi场，都垂直于苗且在7每一点都线性无关。假设对任何ij都满足U（o）M（o））=M（o）”（o）b其中I表示为沿V方向的协变导数口证明：对每个%=1,…皿-1,和0<5<力<，都有国业>呼瓦Let（Af,g）bean-dim心nsionalRiemannianmanifold（n>3）withsectionalcurvatureK>0.Let7（t）beageodesic,t£[0,T）fwheretisthearc-lengthparameter^AssumeJ…Jn-iareJacobivertorfieldsalong7,allorthogonalto7'⑴andlinearlyindependentatanypointof7.AssumefurtherthatforanywhereJ-meanscovariantderivativeofJ*withrespecttoy.Provethatforeveryi=1?...fn—1andany0<s<i<T?wehave5⑸%>M热,S —' t5.设”是5维紧致光滑流形50(3)xT\其中T2为一个2维环面.(1)是否存在M上的光滑黎曼度量9使得Ricci曲率严格为正？(2)是否存在M上的光滑黎曼度量g使得Ric=07如果存在请给出具体的例子，如果不存在请给出证明.LetMbethe5-dimensionalsmoothcompactmanifoldSO(3)xT2,whereT2isa2-dimensionaltorus,IsthereanysmoothRiemannianmetricgonAfwithstrictlypositiveRiccicurvature?IsthereanysmoothRiemannianmetricgonMwithRic=0?Writedownconcreteexamplesiftheyexistandgiveyourproofiftheydonotexist+■应用与^1学Applied&ComputationalMathematics■应用与^11.一个简单图G称为“漂亮的"如果它的任意两个相邻顶点的度数不同.对任意附之2,定义共用为门阶“漂亮的"简单图的边数的最大值.求满足砥)一㈤的实数为匕.AsimplegraphGiscalledbeautifulifanytwoadjacentverticeshavedifferentdegrees.For311yn>2,definef(n)asthenia.xnnuriinumberofedgesinabeautifulgraphwithnvertices.Findtherealnumbersa,b(bJ0)satisfyingthat71TDC2.令Q和5为两个正整数，在一个不透明的袋子里放了小个红球和h个蓝球一红球和蓝球除了颜色以外的其它特征相同，只能通过颜色来分辨一小明进行如下的游戏：每一轮她从袋子里随机抽取一个球,如果这个球是蓝球,那么游戏结束；如果是红球,那么她将该球放向袋子并再加放一个红球到袋子之中(这样袋子中的红球增多了一个)一令Em为游戏总轮数的期望.(1)当初与b为何值时,期望Eaib取有限值？Q)将⑻地表示为。与5的函数.(3)假设小明知道袋中的总球数N但不知道。与b的值.她先验地认为。在集合{】,…，N-1}中均匀分布.在第几轮抽到红球的情况下她可以有9。%的把握猜测取无穷值？Letaandbbetwogtrictlypositiveintegers.Givenanobscurebagcontainingaredbalhandbblueballswhichonlydifferincolor,Aliceplaysthefollowinggame.Ineachroundshepicksrandomly昌ba,11inthebag.Iftheballisblue,thenthegameterminates;otherwisesheputstheballbackandaddsanotherredballinthebag(hencethenumberofredIjhIIsin.thebagincrEa^esby1).WedeuotebyE%&theexpectationofth曰numberoftotalroundsofthegame.ForwhichvaluesofaandbtheexpectationEgisfinite''Dyturiiiinetht;valueofEH上asafunctionofaan<ib.AssumethatAliceknowsthetotalnuml>crNofballsbutdocsnotknnwthevaluesofaandb.Sheestimatesapriorithatthevalueofauniformlydistributesin{1f...hjV—1},Attheendofwhichround(thatshepicksaredball)shecouldguesswithacertaintyof90%tHt展为wouldbeinfinite?3.给定n个正实数对…■,时,假设它们满足Q；+1■•+成=I和的H +%.=◎.证明存在一种挑选系数切…■的方法，使得每个系数露均为1或—1，并且比如当口=5旦口1=,，,=汪5=1/45时n=、后，可以取白=幻=3=1,国=砧=-1,这样|包01+…+%叫=i/Vs=1/&Civeil7ipositiverealnumbers……，口.suchthattheyformaunitvector,i.e-瑞+1♦L+屋=1-Letm=q[+…+%..Shnwthattheresxistcnefficipiitsf$E{lt1}fori=〕卜…，取suchthat|七1。14-1—b金期1W—aForexample,ifn=5and=一•=□、=l/y/5,thena=and句==E3=1,e4= =-1gives£xttiH Fq优=I]瓜4.在分子动力学中，入口常使用overdampedI.angevinequationSC=/（SC）+来采样Boltzmann分布pM3）= 目'；R这里ccE股叫B=号下>QA凸是Boltzmann常数,T是温度,/㈤=-W㈤是由势函数V（X）决定的作用力算是■一个3d维的白噪声，而4=工-村㈤而是归一化常数，考虑如下的两条耦合的采样轨道，fe=/m】）+丘®?i'电=/（工力+，2日，㈤小,其中仇0）和仇㈤会交替地取值0和£>0.例如,可选口m户（即6一］>使得8对应的温度高于原系统的温度以提高采样效率.按照频率由瓦⑴和外缶会尝成互换取值，如果互换是尝试从（丽为）=（仇8）变成（仇,仇）=很用，那么这种互换的接受概率为/用（血）如（的）I小曲（6）而另外一种互换的接受概率类似可得一写出（无需证明）当频率"TOO时（1）的极限方程,我们称之为系统（A）,写出另一个叫和叫满足的随机动力方程，我们称之为系统（B）,使得系统（B）中只含有常系数的噪声项,且系统LA）和系统（B）对应一样的不变分布，10

InTiioleculardyiiamicsj,theovfirdampedLangevinequationx=f(x)+，啰-%isusedtosampletheBoltzmanndistribution即⑺=酝%~"他wherexER3*1,&=i，■„>四4日iftheBcltamuniiconstanttTden口testhetemperature,f(x)=—VV(jj)istheforceassociatedwiththepotentialVz(x),r?isa3n-dimensionalwhitenoiseandZ0—e'''崂da;TnavariantmodeLweconsidertwocoupledsamplingtrajectoriesf处=/8)+，2纪RMi. ⑴[的=f(6)+，3怎I(。明，where；S|(£)and alternativelyswei[)betweentwov^lii谈/>04nd>0.Fbrcxcunple,wemaytake£<仃(sothat§1>8，andthusthesampliiigefficiencyisimprovedbecauseBcorruHpoiidHtoahighertouiperature.Thewsswapsareattempt■白dwithfrequtJiicy巩andtheernesfrom(仇>阶=(四g),(gi,%)=⑶0)arcacceptedwithprobabilitymin『min『31叫）口白（叼）］口”叫）为（啊）’1111andsimilarlyfortheonesfrom(ft：闻=｛凤用to(ft,ft)=(用图一Writeout(withoutproof)thelimitequationsof(])whenytg、whichwenameSystem(A).Findanotherdynamicsforxejand工外callffdSysiteTri(B),suchthatSystem(B)contain?onlyconstant-cjoefficieritnoiseterms,iindSystemI：A)andSystem(B)slianzth匕semiicin^riantrneasurt.5.假设6，…:工和是一期相异实数，劭….，部是另一组相异实数，并且对于每个W=1…，B都有生>修，一个单向